賭徒謬誤
因某結果一段時間未出現，便相信它「該出了」。
連續十次紅後，黑的概率仍為18/37。轉輪不保留紀錄，也不欠任何結果。
這個謬誤
若紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →已出現十次，許多玩家便覺得黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →「該出了」，並據此下注。另一些人覺得紅正「熱」，於是繼續押紅。兩者都是從一段已經結束的序列，去推論一次尚未發生的旋轉。球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →不知道前十次旋轉的結果；口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →的大小和一小時前一樣；黑的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →也一如既往是18/37。
為何感覺像真的
長期而言，紅與黑的比例確實都會收斂至18/37。大數定律數學大數定律隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →保證這一點。但收斂靠的是稀釋，而不是修正：再旋轉1,000次後，多出的十次紅在比例中只相當於四捨五入的誤差，原因不是黑追上了，而是樣本變大了。沒有任何機制會令黑更容易出現，大數定律也不需要這種機制。
蒙地卡羅，1913年8月18日
Casino de Monte-Carlo的一張賭枱連續出現26次黑。大約從第十五次黑開始，玩家蜂擁押紅，不斷加倍再加倍，每一次旋轉都比前一次「更肯定」。賭場贏得數百萬法郎。從第一次黑起計，這段連續結果的概率是1.37億分之1；而它終究會在世界上某間賭場發生的概率，實際上等於一。賭徒謬誤又稱蒙地卡羅謬誤，原因就在這裏。
平常。每44次出現一次。
玩家開始注意到。紅「該出了」。
賭枱擠滿人。每次輸後，紅的注碼就加倍。
有人輸掉大筆財富。每多一次黑，紅都顯得更肯定。
連續結果結束。這段連續結果不可能「知道」自己正在連續，押它中斷的人卻讓賭場贏得數百萬法郎。
手感火熱
因某種顏色正連續出現而跟押它，是把同一個錯誤反過來：期待連續結果會延續，而不是結束。心理學家稱之為手感火熱迷思迷思手感火熱迷思相信一連串獲勝或某一結果會使它更可能再次出現。在轉輪上，這是反過來的賭徒謬誤。閱讀全文 →，名稱源自Gilovich、Vallone和Tversky在1985年的研究：他們在籃球投籃中尋找連續命中，卻找不到超出偶然的連續性。2018年，Miller與Sanjurjo指出那個檢驗本身有偏差：在短期紀錄中，緊接命中之後再命中的比例，平均會低於射手的整體命中率，因此完全沒有手感火熱的球員也會顯得手感略冷。修正後，同一組數據顯示確實有適度的手感火熱。人可以進入狀態；轉輪卻無所謂狀態。有些玩家同時抱持兩種信念：連續結果會延續，直至「太長」後才結束。在公平轉輪上，每一種押法的期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是注碼的−1/37。閱讀全文 →都與擲硬幣選顏色相同：注碼的−2.70%。
在真實賭枱上
Croson與Sundali（2005年）觀看了雷諾一間大型賭場內一張雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →賭枱18小時的監控錄像：139名玩家共下了24,131筆賭注。在等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、大／小。18個號碼，派彩1:1。閱讀全文 →上，跟隨短連續結果與反押的玩家大致各半。同一結果連續出現五次後，他們傾向反押；連續六次或以上後，85%的賭注都押在另一邊。同一批玩家對自己卻表現出手感火熱的信念：號碼注中獎後，下一次旋轉平均覆蓋13.6個號碼；輸了之後則是9.2個。他們的轉輪沒有任何偏差跡象，因此這一切都不會改變任何人可預期的結果。
賭場之外
同樣的心理傾向也出現在真正的決策之中。Clotfelter與Cook（1993年）追蹤馬里蘭州的每日數字彩票：某個號碼一經開出，押在它身上的金額便急跌，要數月才回升，儘管開彩毫無記憶。Chen、Moskowitz與Shue（2016年）在專業人士身上也發現此現象。美國的庇護審理法官若批准了前一宗申請，拒絕下一宗的概率最多會高出3.3個百分點。棒球裁判判出一個好球後，再判好球的概率低1.5個百分點，遇上邊緣球時差距更達兩倍以上。在一項以固定報酬聘請貸款審批員的田野實驗中，最多有9%的決定因此被扭轉。案件按隨機次序送來，所以上一個決定對下一個毫無啟示，正如上一次旋轉對下一次毫無啟示。
逆賭徒謬誤
哲學家Ian Hacking（1987年）為第三種版本命名。有人走進房間，看見一對骰子擲出雙六，便推論它們之前一定已經擲過很多次。每一次擲出雙六的可能性都相同，不論是當晚第一次還是第一千次，所以這個畫面完全不能說明遊戲已進行了多久。在輪盤上，這就是走到顯示連續八次紅的看板前，便認定賭枱必定已轉了好幾個小時才會出現這種結果的玩家。普通的謬誤把過去投射到下一次旋轉；這種謬誤則把罕見的畫面投射到沒人看見的過去。
相信它的心理學家
這個謬誤也曾有學者為它辯護。德國心理學家Karl Marbe翻查了四本各有49,152筆紀錄的出生登記冊，發現連續男嬰或連續女嬰的最長紀錄是17，便推論長的連續結果比偶然所容許的少，因此一段連續結果會令另一種結果更可能出現。但單憑偶然，情況並非如此：196,608宗出生中，出現連續17次或以上的情況，約五次中有四次。Marbe找到的正是隨機序列的本來面貌。Epstein（2013年）重述了這個案例；「輪盤連續結果的概率」一頁介紹輪盤的版本。
謬誤不適用之處
若轉輪有物理偏差，過去的旋轉便具參考價值，因為它們是關於口袋而非運氣的證據。這是實驗室的主題，而且要有同一個已確認轉輪的數千次旋轉，才能說明任何問題。若在一個不明的轉輪上看到連續十次紅，以偏差來解釋遠不如以偶然來解釋可信。
問題
不是。它適用於任何獨立重複事件：骰子、硬幣、彩券號碼。
比例會接近。你的結果仍約為所投注金額的−2.70%。
沒有平均法則。只有大數定律，而它靠稀釋起作用。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
擲硬幣10次後，出現7次正面和3次反面。擲1,000次後，出現517次正面和483次反面。反面追上來了嗎？
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答案 沒有。差距從4擴大到34；只有比例更接近均等。
正面與反面的比例從7/3（約2.33）降為517/483（約1.07）。這正是大數定律數學大數定律隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →的作用。
兩者的差距從4擴大到34。公平硬幣擲1,000次後，差距約30很平常：典型差距大致隨擲幣次數的平方根增加，而比例則趨向1。
沒有任何力量把反面拉回來。早期正面的多出部分被接下來990次擲幣稀釋，而非被修正。
擲硬幣四次，只看緊接在正面後的那些擲幣。當中有多少比例也是正面？請對16種可能序列中的每一種算出來，再取這些比例的平均。結果是50%嗎？
顯示解答
答案 不是。結果是17/42，約40.5%。這樣看來，公平硬幣在正面後似乎會變冷。
列出16種序列。其中TTTT和TTTH在前三次擲幣都沒有正面，所以沒有任何結果接在正面後；剩下14種。
在每種序列中，取出正面後的擲幣，找出其中正面所佔比例。HHHH是3次中的3次。HHHT是3次中的2次。HTHT是2次中的0次。逐一看完14種序列：六種為0、四種為1/2、一種為2/3、三種為1（HHHH、THHH和TTHH）。
把各比例相加：4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3。除以14：17/42 ≈ 40.5%。
沒有任何一次擲幣偏向反面；每次都是50–50。偏差來自逐一平均序列：一個充滿正面的序列有很多次擲幣可看，卻只算一次，和僅有一次正面的序列一樣。Miller和Sanjurjo（2018）指出，1985年的手感火熱研究正是這樣衡量籃球員，因此看起來不比隨機結果更常連中的球員，實際上確實更常連中一些。
漫畫點綴
是稀釋，不是修正。轉輪不欠任何結果。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”