問題：生日轉輪
多少次旋轉後會有某個號碼重複？遠比多數人猜的少。
在有37個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →的轉輪上的生日問題：只要8次旋轉，某個號碼已出現兩次的概率就超過一半。玩家把重複看成規律；其實這正是公平轉輪應有的表現。
問題
旋轉一個公平的歐式轉輪。要旋轉多少次，至少有兩次旋轉開出相同號碼的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →才會超過一半？多數玩家猜18或19次左右，即37的一半。答案是8。
解答
先算不重複的概率，再以一減去它。經過k次旋轉後，p（全都不同）= (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)。k = 8時：1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44，因此p（出現重複）≈ 0.56。k = 14時為0.93；k = 20時為0.996。直覺之所以失準，是因為旋轉之間的配對數按k²增加，而任何一對都可能相同。
為何這在賭枱上很重要
顯示最近20個號碼的結果看板，幾乎總會出現至少一次重複，常常是兩三次。玩家看到「17在十次旋轉中出現兩次」，便認定17是熱門號碼；生日問題的計算卻顯示，十次旋轉內出現重複的概率為74%，而重複的是哪個號碼則純屬隨機。規律是真的；它的意義卻不是。
延伸問題
要旋轉多少次，某個指定號碼（例如17）才會出現兩次？這是另一個問題，答案大得多：期望等待時間是74次旋轉，而20次旋轉內出現兩次17的概率約為10%。「某個號碼重複」（8次旋轉）與「這個號碼重複」（74次旋轉）的分別，正是事後才察覺的規律與事前作出的預測之間的根本分別。
試試看
在示範遊戲中旋轉十次，再查看歷史紀錄。通常會有重複。再玩一次，重複的號碼會不同。這樣做十次，你就親眼見過生日問題數學生日問題多少人時兩人很可能同生日，或轉多少次時一個號碼很可能重複。在37口袋轉輪上，8次旋轉就有超過一半的概率。閱讀全文 →；做一千次（模擬器做得到），你就量度了它。
公式
問題
完全一樣，只是以37個口袋取代365天。23人便有50%的概率出現同一天生日；8次旋轉便有56%的概率在轉輪上出現重複號碼。
約19次旋轉後達50%。仍屬平常。
不會。同一個轉輪的數千次旋轉才可能暗示偏差；一次重複永遠不能。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
美式轉輪旁的結果看板顯示最近16次旋轉。上面沒有任何號碼出現兩次的概率有多大？
顯示解答
答案 約2.5%：40個看板中約39個至少有一個重複號碼。
逐次旋轉計算。第一次可以是任何結果。第二次必須避開它：38個結果中有37個可選。第三次必須避開前兩個：38個中有36個。第十六次必須避開十五個號碼：38個中有23個。
相乘：38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246。
沒有重複號碼的看板才是少見的。有重複號碼的看板並不能說明轉輪的任何情況。
歐式轉輪旋轉十次時，17恰好出現五次的概率是多少？任一號碼出現五次或以上的概率呢？以及，四次旋轉中任一號碼至少出現三次的概率？
顯示解答
答案 17恰好五次：315,576分之1。某個號碼五次或以上：約8,333分之1。四次旋轉中某個號碼至少三次：349分之1。
17出現五次：選擇十次旋轉中的哪五次，有252種方式，每種概率為(1/37)⁵ × (36/37)⁵。合計為315,576分之1。
任一號碼：37個號碼各自五次或以上命中的概率為308,325分之1，合計37/308,325，即8,333分之1。兩個號碼各命中五次的罕見情形被重複計算，但在這個精度下扣除它也不會改變結果。
四次旋轉中出現三次：就一個號碼而言，37⁴個可能結果中有4 × 36 + 1 = 145個；就37個號碼中的任一個而言，145/37³ = 349分之1。
雙零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪的對應數字為359,275分之1、9,243分之1與368分之1。「17」與「任一號碼」間的差距又是生日問題數學生日問題多少人時兩人很可能同生日，或轉多少次時一個號碼很可能重複。在37口袋轉輪上，8次旋轉就有超過一半的概率。閱讀全文 →：有37種令人驚訝的可能。
漫畫點綴
總有號碼很早就重複。重複的是哪一個，純屬隨機。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.