輪盤莊家優勢
賭場平均保留每筆注碼的比例。
歐式輪盤：每項標準賭注的莊家優勢皆為2.70%，因為派彩按36個口袋計算，而實際有37個。
推導
單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →的公平賠率應是1賠36，因為每一種贏法對應36種輸法。賭場以1賠35派彩。少掉的這一個單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →分攤到37個機會均等的結果上，每次旋轉便是注碼的1/37＝2.70%。每種派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →都有同樣的缺口，因為每種派彩都按36/n−1規則計算：分注賭注分注兩個相鄰號碼，派彩17:1。閱讀全文 →派彩17而非17.5，打注賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →派彩2而非2.083，紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →派彩1而非1.056。缺口總是每次中獎少1/n個單位，而每次旋轉平均中獎n/37次，所以每次旋轉總是1/37。
莊家優勢與留存率
莊家優勢是每個投注單位的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →：每次旋轉2.70%。留存率金額留存率賭場實際留下玩家帶到賭枱金額的比例。因贏款會再下注，故高於莊家優勢。閱讀全文 →是賭場實際留下你帶到賭枱的金額的比例，而且高得多，因為贏款會被重新下注。以$100兌換籌碼賭枱兌換籌碼在賭枱以現金換取籌碼。應在兩次旋轉之間進行，現金放在枱面上而非交到荷官手中。閱讀全文 →，每次下注$10，共200次旋轉，總投注額達$2,000，付出的莊家優勢約$54；這筆兌換籌碼的留存率是54%。賭場公佈的是留存率；玩家應以莊家優勢來思考。
為何每項賭注的優勢相同
這是設計上的選擇，不是巧合。36/n−1規則在18世紀已經確立，後來移除雙零變體雙零美式轉輪的00口袋。它使莊家優勢從2.70%提高至5.26%。閱讀全文 →時並沒有改動派彩。若派彩對37個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →是公平的，單號就會以1賠36派彩，賭場便沒有收入。劃一的莊家優勢很方便：沒有哪一項輪盤賭注比其他賭注更像「冤大頭賭注」，唯一例外是美式五號碼賭注，莊家優勢為7.89%。
輪盤莊家優勢不是甚麼
它不是輸掉一個場次的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →；多數短場次由方差數學方差衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →決定，押等額賠付注的100次旋轉場次中，約42%以贏錢收場。它不是每個場次的固定費用；它隨總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →增加，所以投注較多的加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變注碼的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →付出更多。任何下注組合也無法把它攤薄，因為同時下注的各項莊家優勢會按各自注碼相加。
以金額表示
每投注$1,000，歐式輪盤變體歐式輪盤單零轉輪、37個口袋、莊家優勢2.70%。本站的標準模型。閱讀全文 →的預期損失為$27.03，美式為$52.63，採La Partage規則La Partage（分攤規則）法式規則：零號出現時，返還等額賠付注碼的一半。將這些賭注的莊家優勢減半至1.35%。閱讀全文 →的等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、大／小。18個號碼，派彩1:1。閱讀全文 →為$13.51。一位常客每晚投注$500、每周兩晚、持續一年，總投注額為$52,000，在歐式轉輪上付出的莊家優勢約$1,400。每次旋轉的數字很小，按年計卻毫不留情。
按旋轉或按已結算賭注
幾乎每項輪盤賭注都由一次旋轉結算，因此每次旋轉的優勢和每筆賭注的優勢是同一個數字。可能不分勝負而繼續留在投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →上的賭注，則有兩個數字。Riverboat Roulette的藍綠賭注涵蓋美式轉輪的3個號碼，若其中一個在8個白色號碼之前出現，便以1賠2派彩；其他結果則不分勝負。按已結算賭注計，它損失注碼的2/11，即18.18%。按旋轉計，損失2/38，即5.26%，因為一筆賭注平均會留在枱面38/11次旋轉，約3.5次。兩個數字都正確。按旋轉計的數字可用來把這項賭注與枱上其他賭注比較，並決定每小時的成本；按已結算賭注計的數字則說明每筆注碼在最終結算時能拿回多少。
賭場算錯價格時
本頁每項優勢都來自賭場通常不會算錯的算術。但有時也會算錯。1994年10月，密西西比州比洛克西的Grand Casino對三顆骰子總和為4的結果開出1賠80，總和為17亦然。三顆骰子有216種結果，只有3種總和為4，因此每下注一個單位可取回81×3/216＝1.125：玩家享有12.5%的優勢。玩家察覺了。賭場一天內約損失$180,000，暫停該賭注，其後改以1賠60重新開放，同樣是216種結果中的3種，便成了賭場15.3%的優勢。Hunacek（2025年）引用Bollman講述此事。輪盤的標準派彩太簡單，不會這樣算錯；值得核算的是它那些不尋常的側注賭注側注附加於主遊戲的可選額外賭注，通常押連續結果、獎勵事件或彩池。幾乎總比標準賭注昂貴。閱讀全文 →。
其他賭枱遊戲的側注
Bollman（2021年）把二十一點、百家樂、Craps（擲骰子遊戲）和輪盤的主要賭注，與同枱的典型側注並列比較。前三種遊戲的側注成本都高於主要賭注，往往高出數倍。例外是表中最後一個遊戲：美式輪盤變體美式輪盤有0和00、共38個口袋的轉輪，莊家優勢5.26%。不是本站的預設模型。閱讀全文 →主要賭注的莊家優勢為5.26%，高到Colors或WINGO等側注反而可能更便宜。
公式
問題
不是。是投注金額的2.70%。同一筆錢再次下注，就再算一次投注。
不會。它是一個比例。以美元計的預期損失則隨注碼按比例增減。
以莊家優勢計，所有標準歐式賭注相同；差別只在中獎頻率和派彩。採La Partage時，等額賠付注的優勢是其他賭注的一半。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
在歐式轉輪上，單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →和紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色賭注的成本同為2.70%，儘管前者涵蓋一個號碼，後者涵蓋十八個。為甚麼每種賭注的莊家優勢數學莊家優勢賭場平均保留每筆注碼的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →都相同？
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答案 每種派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →都按不存在零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的情況設定，因此每種賭注在37次旋轉中都會損失一個單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →，無論它涵蓋多少號碼。
以涵蓋n個號碼的賭注為例。其派彩為1賠(36 − n)/n。在37次旋轉中，平均中獎n次，輸37 − n次。
中獎帶來n × (36 − n)/n = 36 − n單位。輸掉的成本為37 − n單位。差額是每37次旋轉−1單位，n被消去了：單號、角注賭注角注投注枱面上共享一角的四個號碼，派彩8:1。閱讀全文 →或打賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →的結果都相同。37次損失一個單位即2.70%。
若轉輪有N個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →，同樣的計算會得出(36 − N)/N，因此美式轉輪為−2/38 = 5.26%。唯一打破此模式的是美式五號賭注：按規則應派彩1賠6.2，實際只派1賠6，成本為7.89%。
Keno這種彩票式遊戲會留存投注額的25%或更多。若賭場在輪盤轉輪上增加零號而維持派彩不變，要增加多少個零號才會使輪盤和Keno一樣昂貴？
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答案 十二個零號：48個口袋的轉輪。
有z個零號時，轉輪有36 + z個口袋，而派彩仍假設有36個。依上一題規則，每種賭注在36 + z次旋轉中損失z單位，所以莊家優勢為z/(36 + z)。
令其等於四分之一：4z = 36 + z，所以z = 12。48個口袋的轉輪若有十二個零號，成本便是25%。
大多數玩家會遇到的輪盤中，以拉斯維加斯大道的三零轉輪成本最高，而它的零號只有這個數目的四分之一。
零號口袋莊家優勢1372.70%2385.26%3397.69%44010.00%124825.00%Massachusetts Lottery在2023年推出一個有36個號碼、沒有零號的轉輪。單一號碼每1返還25（含注碼），紅、黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →、單或雙每2返還3（含注碼）。沒有零號，它是否比輪盤便宜？
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答案 不是，昂貴得多：號碼賭注為30.56%，紅或黑為25%，歐式轉輪則為2.70%。
「返還」包括注碼。$1單號賭注平均每36次開獎返還一次$25：每下注$36返還$25，即每$36損失$11，亦即30.56%。
押紅$2，有一半機會返還$3：每下注$4返還$3，損失25%。
零號只是設定價格的方法之一。輪盤以36個口袋為基準派彩，再增加第37個；這個轉輪有36個口袋，只是派彩較低。Bollman（2024）將其列為練習題。
一家賭場想為1到36中的十一個質數數學質數大於1且只能被1與自身整除的整數：2、3、5、7、11、13等。閱讀全文 →（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29和31）設計新賭注。派彩應為多少，才能與歐式轉輪上其他賭注一樣，成本同為2.70%？若1賠2，成本是多少？
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答案 11賠25，約1賠2.27。1賠2時，成本為10.81%。
使用第一題的規則：涵蓋n個號碼的賭注派彩為1賠(36 − n)/n。n = 11時，即1賠25/11，這個派彩很不方便，因為一枚$10籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →會贏得$22.73。
1賠2時，$1賭注在37次中有11次贏得$2，其餘26次各輸$1：每37次22 − 26 = −4單位，即10.81%。
這就是為何輪盤提供涵蓋1、2、3、4、6、12和18個號碼的賭注：36可被它們全數整除，因此公平派彩是整數。Taylor（2021）以十個質數編寫這道練習題；實際上有十一個。
漫畫點綴
每筆注碼的1/37，每項賭注，每次旋轉。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.