問題：枱限
在枱限$500的賭枱上，以$10起注玩馬丁格爾。它多常失敗？失敗時損失多少？提高枱限又有沒有幫助？
連輸六次便會令它失敗：每個循環的概率為1.8%，100次旋轉的場次約有60%會遇上。一次失敗的代價是$630。把枱限提高到$5,000，失敗會較罕見（每個循環0.25%），但損失更大（$5,110）。無論枱限多少，每投注一美元的預期損失都是2.70%。
問題
一名玩家在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →押$10，每輸一次便加倍，贏了就重新由起注開始。賭枱的最高注碼為$500。（a）連輸多少次會令加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變注碼的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →失敗？（b）每個循環失敗的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →是多少？（c）失敗時損失多少？（d）枱限改為$5,000，答案會怎樣改變？（e）有沒有任何枱限能令這個系統獲利？
解答（a）–（c）
注碼依次為10、20、40、80、160、320。第七注應為640 > 500，因此連輸六次便會失敗。（b）押紅色時p（輸）= 19/37；(19/37)⁶ = 0.0183，即每個循環約1.8%。一個循環平均約持續兩次旋轉，因此100次旋轉的場次約有50個循環，p（至少失敗一次）≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%。（c）10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630，即63個起注單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →，而該循環原本只想贏$10。
解答（d）
枱限為$5,000時：最高可押2,560；第十注5,120會被拒絕。連輸九次便會失敗：(19/37)⁹ ≈ 每個循環0.25%，100次旋轉的場次約有11%會遇上。失敗時的損失：10 + 20 + … + 2,560 = $5,110。玩家買到的是較罕見的災難，代價是災難變得更大。經過大量場次，失敗的預期成本為p × 損失：$500枱限下每個循環≈ 0.0183 × 630 = $11.5，$5,000枱限下為0.0025 × 5,110 = $12.8；計及四捨五入，兩者是同一個數字，也就是該循環的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →加上成功循環所賺的$10。
解答（e）
不會。無論枱限多少，每個循環的預期損失 = （循環中的預期總注碼）/ 37，因為每一注的期望值都是其注碼的−1/37。枱限只決定損失如何分配在許多小贏與少數大輸之間。若沒有枱限、資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →又無限，加碼系統便會「有效」，意思是它永不失敗；但它同時會投注無上限的金額，預期損失就是這筆無上限金額的2.70%。令馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →行不通的，不是枱限賭枱枱限允許的最低與最高注碼。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →，而是算術。
兩張真實賭枱
Thorp的例子是一張最低注碼$1、最高注碼$1,000的賭枱，玩家希望每次贏一元，湊夠$30晚餐錢。注碼1、2、4 … 512共可下十注，因此連輸十次便會令加碼系統失敗：在歐式轉輪上每785個循環發生一次（美式轉輪上每613個循環一次），代價為$1,023。三十個循環全部成功的概率為96.2%。其餘3.8%的情況會輸掉約$1,000，而一晚的平均結果是−$9.17，正好是三十個循環平均總注碼$339的1/37。最低注碼$5、最高注碼$2,000的賭枱也一樣：最高可押$1,280，共可下九注；在歐式轉輪上每403個循環失敗一次（美式轉輪上每323個循環一次），代價為$2,555。
資金雄厚的玩家
不設低枱限，改為給加碼系統雄厚的資金：1,000單位、起注一單位，押紅色1,000次旋轉；每當下一次加倍的注碼超過剩餘資金，就從一單位重新開始。我們模擬了一百萬個這樣的晚上。在歐式轉輪上，52%以贏錢收場，21%輸光全部資金，平均結果為−124單位。即使在沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →、每注都公平的遊戲中，也只有約60%以贏錢收場。典型的一晚是小贏；平均值的代價則由那些輸到歸零的晚上承擔。
重點
賭場設定枱限，是為了限制自身的方差數學方差衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →，不是為了擊敗下注系統。擊敗馬丁格爾只是它們樂於見到的副作用，何況算術無論如何都會擊敗它。以為問題出在枱限的玩家，是找到了懸崖，卻誤以為那就是整段下坡。
公式
問題
它讓你撐到更高的枱限，在那裏失敗更罕見、損失更大。每一美元的預期損失不變。
注碼10、30、70、150、310：連輸五次後便觸及$500枱限，一次失敗的代價為$570。同樣是2.70%。
讓單一玩家的注碼不會超過賭場儲備能從容支付的金額。這是方差管理。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
一套馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →在紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色以$100起注，每輪最多允許n注：連輸n注後便放棄並重新開始。將一輪的平均結果寫成n的公式，並計算歐式轉輪上5、6和7注的結果。
顯示解答
答案 平均為100 × (1 − (38/37)ⁿ)：5注−$14.26、6注−$17.35、7注−$20.52。允許更多賭注令平均一輪更差，不會更好。
除非全部n注都輸，否則一輪贏$100；後者以qⁿ的概率發生，其中q = 19/37。全部輸時，注碼100、200……100 × 2ⁿ⁻¹相加為100 × (2ⁿ − 1)。所以平均為100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)。
此處2q = 38/37，略大於1，所以(2q)ⁿ隨n增大，平均下降：n = 5得1.1426及−$14.26；n = 6得1.1735及−$17.35；n = 7得1.2052及−$20.52。較長的階梯較少輸，在3.6%、1.8%及0.9%的輪次輸掉，但每次損失大一倍，而且每輪經過賭枱的錢更多，每一注都要付2.70%。
美式轉輪上2q = 40/38，數字為−$29.24、−$36.04及−$43.20（Taylor，2021）。在沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的遊戲中2q = 1，無論階梯多長，每輪平均恰為零。
「大馬丁格爾」在輸後將注碼加倍並加一單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →，所以注碼為1、3、7、15、31……第一次中獎出現在第1、第2、第3或第k注時，贏多少單位？若單位為$10、最高注碼為$500，一輪多常中斷，平均成本是多少？
顯示解答
答案 第k注中獎後淨贏k單位：+1、+2、+3，以此類推。單位$10且最高注碼$500時，一輪在五次連輸後中斷，佔3.57%的輪次，結果為−$570。平均每輪在$85.73注碼中輸$2.32：2.70%。
第k筆注碼為2ᵏ − 1單位：1、3、7、15、31。前k − 1筆注碼相加為2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1。第k注中獎派彩2ᵏ − 1，因此一輪結束時淨贏(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k單位：在中獎前每輸一次多贏一單位。
單位$10時，注碼為$10、$30、$70、$150和$310；下一筆$630超過$500的最高注碼。連輸五次，(19/37)⁵ = 3.57%，損失10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570。
平均：k = 1至5時，中獎以(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37的概率帶來$10 × k；中斷以3.57%的概率損失$570；合計−$2.32。平均每輪注碼為$85.73，2.32/85.73 = 2.70%。同一張賭枱上的普通馬丁格爾在六次連輸後中斷，佔1.83%的輪次，結果為−$630，並在$64.20注碼中輸$1.74：同樣是2.70%。
一名玩家計劃在紅色使用馬丁格爾，首注$1，賭枱的枱限為$1,000，因此可下十注：$1、$2、$4，依此至$512。一輪多常十注全輸，平均要多久，200注的一晚多常以此結束？
顯示解答
答案 一輪十注全輸約每784輪一次，損失$1,023。平均約1,600注，而200注的一晚約有11%的機會撞上枱限。一輪在$11.31注碼中平均仍輸$0.31：2.70%。
紅色賭注以19/37的概率輸，包含零號。連輸十次：(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128，約784分之1。注碼1 + 2 + 4 + … + 512合計$1,023。
一輪平均需2.05注，因此784輪約為1,600注。按每次旋轉計，十次連輸在200注某處出現的概率為11.3%。
在災難之間，玩家每輪贏$1：先贏約$783，接着壞的一輪−$1,023，整段約為−$240。每輪：1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。每輪注碼：1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。而−0.31/11.31 = −2.70%。
對比首注$10、枱限$500、可下六注的情況：約每55輪撞上一次枱限，200注的一晚有84%的機會遇上。更高的枱限令崩盤更罕見、損失更大，卻不會更便宜。
漫畫點綴
無論枱限多少：更罕見，也更大。乘積不變。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.