輪盤獎賞、優惠與回贈
輪盤獎賞，例如matchplay優惠券、不能兌現的籌碼和輸錢退款，會把少量金錢從賭場轉到玩家手上。只要定價正確，其中有些的價值超過轉輪所收取的。
能令等額賠付注中獎派彩加倍的優惠券，在歐式轉輪上約值注碼的46%。一次性推廣籌碼押在涵蓋n個號碼的賭注上，價值為面額的(36 − n)/37：單號為95%，紅色為49%。退還一半淨損失，便足以令押紅色的短場次值得一玩。這些都不會改變轉輪，只會改變由誰付錢。
為何優惠能勝過莊家優勢
莊家優勢數學莊家優勢賭場平均保留每筆注碼的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →是每投注一單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →要付的價格：歐式轉輪為2.70%。輪盤獎賞在賭注的一方額外加錢；若加上的金額超過注碼的2.70%，在優惠期間該賭注的期望值便為正。賭場仍然照樣提供，因為這些優惠都有限制：每次光顧限用一張優惠券、籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →可以下注卻不能兌現、退款只給輸了大額的玩家。計算方法和本站其他地方一樣：概率乘以派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →，再把所有結果加起來。
Matchplay優惠券
matchplay優惠券放在現金賭注旁邊，賭注勝出時派彩便加倍；無論輸贏，賭場都會收回優惠券。Bollman（2024）為2022年拉斯維加斯的一張優惠券計算價值：這張券可在等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、大／小。18個號碼，派彩1:1。閱讀全文 →上配對最多$50。在歐式轉輪上，憑優惠券押$50在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →，有18/37的概率贏$100，有19/37的概率輸$50：期望值為+$22.97，即注碼的45.9%。在美式轉輪上為+$21.05，即42.1%。同一張券若可用在單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →上，價值會是兩倍，所以優惠券只限用於等額賠付注。
不能兌現的籌碼
推廣籌碼又稱不可兌現籌碼，可以下注，但不能換成現金。一般規則是只能用一次：賭注中獎時以普通籌碼派彩，推廣籌碼則被收回；輸了同樣被收回。面額$100的籌碼押在涵蓋n個號碼的賭注上，以n/37的概率贏得(36 − n)/n × $100，所以價值為面額的(36 − n)/37。籌碼本身的面值永遠拿不回來，拿到的只有贏款，所以中獎機會低但派彩高的賭注損失最少：單號為$94.59，紅色為$48.65。若規則容許籌碼一直留在投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →直至輸掉，等額賠付注在歐式轉輪上的價值為面額的18/19，在美式轉輪上為9/10（Bollman，2024）。
把籌碼變成現金
上述價值只是平均值；想穩拿現金的玩家，可以用對沖換取確定性。Bollman的例子來自已結業的Vegas World賭場：在美式轉輪上用$1,000一次性籌碼，$500押紅色、$500押黑色賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →，再以現金各$20押0與00。開紅色或黑色時，贏$500，輸掉現金$40：+$460。開零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →時，兩邊籌碼都輸，現金則派彩$700：+$680。玩家最少穩得$460，平均值$471.58，相當於籌碼全押紅色時價值的99.6%。若規則容許把籌碼押在單一號碼上，歐式轉輪可提供更好的對沖：36個號碼各押$25籌碼（$900），零號押$25現金。無論開出哪個號碼，都會派彩$875；零號上的現金除非開出零號，否則會輸掉，因此玩家最少保住$850，即籌碼面額的94%，完全沒有風險。
輸錢退款
高額玩家常獲提供回贈：在約定的場次結束時，退還其淨損失的一部分。回贈只在你輸錢時才有，因此在結果大起大落、而場次又短得令莊家優勢尚未主導時最有價值。Epstein（2013）計算了美式轉輪的情況；以下是本站計算的歐式轉輪數字。退還一半淨損失時，以固定注碼押等額賠付注，在103次旋轉以內都值得玩，25次時最佳，平均值為+0.51個注碼。押單號的波動大得多，場次在約3,600次旋轉以內仍為正值，882次時最佳，平均值為+17.25個注碼。若是較常見的10%回贈，等額賠付注只有玩一次旋轉時為正值，單號則在20次旋轉時最佳，平均值為+0.62個注碼。
輪盤優惠規則：賭場指望的是甚麼
每項優惠都有上限，而上限保護的是賭場：每次光顧限用一張優惠券、籌碼按固定金額發放、回贈只與那些一趟行程預期損失遠超退款金額的玩家議定。用了優惠券後又留下來整晚每注$50押紅色的玩家，以每次旋轉$1.35計，17次旋轉內就會把$22.97還給賭場。只有對拿了優惠就離開的玩家，或本來就會玩那麼多的玩家，這份價值才是真實的。
公式
問題
對它所配合的那一注而言，可以。其他每一注仍要付出注碼的2.70%。
很少玩家想到這一招，籌碼數量有限，而且賭場早已把優惠當作廣告開支來定價。
很少。這是高額玩家的條款，通常與賭場公關議定，按一趟行程的淨損失支付。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
你得到一枚$25推廣籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →，不論中獎或輸掉，一注後都會被收走。該放在哪裏：紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色、打賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →注，或單一號碼？
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答案 單一號碼。它的平均價值為$23.65；打注為$16.22，紅色為$12.16。
籌碼本身永不返還，只有它贏得的部分返還。紅色以18/37概率贏$25：$12.16。打注以12/37概率贏$50：$16.22。單一號碼以1/37概率贏$875：$23.65。
一般而言，押n個號碼的賭注價值為籌碼的(36 − n)/37，因此號碼越少越好。普通籌碼則沒有差異，因為每次中獎時注碼都返還，每一注的價值都是其36/37。拿走注碼傷害常中獎的賭注，幾乎不影響37次中獎一次的賭注。
賭場會在恰好一次旋轉後退還你淨損失的一半。紅色押$100值得玩嗎？單一號碼押$100呢？
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答案 兩者都值得：押紅色約+$22.97，押該號碼約+$45.95。
押紅色以18/37概率贏$100，退款後以19/37概率輸$50：(1,800 − 950)/37 = +$22.97。
押單一號碼以1/37概率贏$3,500，並以36/37概率輸$50：(3,500 − 1,800)/37 = +$45.95。
這又是matchplay優惠券的數字。輸了只輸$50的$100賭注，贏$100或輸$50，恰如有一張使贏款加倍的優惠券、注碼為$50的賭注。在較長場次中，退款只在淨結果上支付，支付前輸贏互相抵銷，價值縮小；押紅色並退還一半時，25次旋轉是最佳長度。
賭場會在預先選定固定次數的紅色$100賭注後，退還淨損失的一半：1、2或3次旋轉。哪個最有價值？
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答案 三次旋轉：約+$31.45。一次值+$22.97，兩次僅+$20.96。
一次旋轉：以18/37概率贏$100，或以19/37概率輸$100並退$50：如上題為+$22.97。
兩次旋轉：都贏（1,369次中324次），+$200。一贏一輸（684次），$0，沒有退款。都輸（361次），−$200，退款後−$100。平均：(200 × 324 − 100 × 361)/1,369 = +$20.96。退款只在損失時支付，兩次旋轉把許多單次旋轉的損失變成打平。
三次旋轉永不會打平。三次皆贏（50,653次中5,832次）：+$300。兩次贏（18,468次）：+$100。一次贏（19,494次）：−$100，退款至−$50。全未贏（6,859次）：−$300，退款至−$150。平均：+$31.45。
預先承諾的旋轉次數越多，退款越有價值，而莊家優勢每次旋轉只令你付出$2.70，所以價值升至25次旋轉時約+$51（見上表）；奇數次旋轉總是勝過其後的偶數次。
一家拉斯維加斯賭場曾發出一張優惠券：在00押$5，若中獎，派彩$250而非通常的$175。在其雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪上，附優惠券的$5賭注價值多少，相當於注碼的百分之幾？
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答案 約+34%：該注平均價值+$1.71。若$250包含返還的$5，則為+31.6%。
00在38次旋轉中中一次。有優惠券時：一次+$250，另37次各−$5。平均：(250 − 37 × 5)/38 = 65/38 = +$1.71，即$5的34.2%。沒有優惠券：(175 − 185)/38 = −$0.26，即通常的−5.26%。
若$250為返還總額，中獎淨額是$245，平均為(245 − 185)/38 = +$1.58，即31.6%。
Bollman（2024）將Lady Luck賭場（現為Downtown Grand）的這張優惠券作為練習；隨題印出的7.89%答案不符合任何一種解讀。如同matchplay優惠券，它只有一次的價值：用過便停手。
漫畫點綴
優惠對拿了就回家的玩家最有價值。
來源
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.