撲克輪盤
從一副牌發出的輪盤，供法律禁止用球的地方使用。牌保留賠率，圍繞它們的附加玩法則不然。
加州不允許骰子或球決定賭注結果，所以當地賭場以牌來進行輪盤。代表38個口袋的一副38張牌，可完全複製美式轉輪及其5.26%。賭場從牌所加入的內容獲利：花色符號、彩色口袋與撲克牌型，成本從6%至36%。
為何部分賭場以牌進行輪盤
加州法律禁止以骰子或球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →作為決定賭注的裝置，該州的原住民賭場也受此約束。洗牌後的一副牌兩者皆非，因此設計者以牌重建輪盤並保留賠率。奧克拉荷馬州2004年的原住民協議允許紙牌遊戲，卻不允許輪盤或Craps（擲骰子遊戲）；同樣的紙牌版本在該州流傳，直到2018年法律再次允許球與骰子。「輪盤在加州合法嗎？」頁面說明隨此變更而來的$1前注金額前注在任何結果確定前，為參加一回合支付的固定金額。不論結果如何都不會退回。閱讀全文 →。
以一副牌取代轉輪
最簡單的版本以38張牌取代38個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →：36個號碼與兩張扮演零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的牌。若每張牌的概率相同，且派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →與轉輪相同，成本也與轉輪相同。
Richer Roulette：30%的獎勵
加州Valley Center的Valley View Casino以指針與三個各自轉動的環取代球；它們在減速時鎖在一起。中間環有38個背面朝下的牌磚，每個號碼一個，並各印有一張撲克牌以符合法律；該牌不參與遊戲。內環有六個花色符號，兩個紅心與四個黑桃。主要賭注為美式輪盤變體美式輪盤有0和00、共38個口袋的轉輪，莊家優勢5.26%。不是本站的預設模型。閱讀全文 →。Richer Bonus注只有你的號碼開出且一個花色符號與它對齊時中獎：黑桃1賠100、紅心1賠300。其概率為722分之3，每筆注碼損失30.33%，幾乎是主要遊戲的六倍。
Pala Roulette：Super Green注
加州的Pala Casino保留球，卻從轉輪移除號碼。它的口袋改以顏色區分：12個紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →、12個白色、12個藍色與2個綠色。從一副38張牌中背面朝下發出四張牌，牌的號碼與顏色如美式轉輪，每種口袋顏色一張；球停在的顏色決定翻哪張牌。主要賭注維持美式賠率。Super Green注要求球落入綠色口袋，且該牌為0或00，概率(2/38)²=361分之1。它派彩1賠275，成本23.55%。若要和主要遊戲同為5.26%，就必須派彩1賠341。
聖地牙哥縣：八間賭場，四種繞過禁令的方法
2008年的一項調查涵蓋聖地牙哥周圍全部十一間賭場；八間提供輪盤，各自找到繞過法律的方法。Barona提供該地區唯一單零遊戲。一副37張牌中的三張，面朝下放在1–12、13–24和25–36區域上，球停下所在區域的牌結算每個賭注：2.70%，是其他賭場收取的一半。Pala使用上文所述的彩色轉輪。Pauma和Sycuan僅從一副38張牌中發一張。Harrah’s Rincon、Pechanga、Valley View和Viejas將38張牌如Big Six般圍在直立轉輪上，翻開指針停下的一張；Harrah’s早先從裝有76個賓果球、每個號碼各兩個的球槽中抽取。
Triple Flop：撲克側注
Triple Flop Roulette於2018年在阿魯巴Orchid Casino推出，使用38張牌：每種花色從六到A，另加兩張鬼牌扮演0與00（37張牌版本有一張鬼牌）。第一張牌結算輪盤賭注，這些賭注維持通常派彩與5.26%的莊家優勢。再加兩張牌組成一手三張牌撲克，用於一組側注賭注側注附加於主遊戲的可選額外賭注，通常押連續結果、獎勵事件或彩池。幾乎總比標準賭注昂貴。閱讀全文 →，鬼牌為百搭。每種撲克注的成本都高於輪盤。
修正一種36%的賭注
Royal Jackpot顯示派彩表金額派彩表每種賭注或結果的派彩清單。在機器與側注中，這裏決定莊家優勢。閱讀全文 →的一行能帶來多大影響。8,436手中有40手皇家牌型，當中36手使用鬼牌，所以含鬼牌的派彩比1賠1,000的頭條派彩更大幅決定成本。Bollman推演了各種替代方案。
Ca$h Card：55張的一副牌
Nicholas Kallabat在18歲構思、並於2019年為加州紙牌室推出的Ca$h Card，使用一副完整牌、兩張鬼牌與一張Ca$h Card：55張牌位於13乘4的投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →，每個點數一排、每種花色一欄賭注欄注投注枱面一個垂直欄中的十二個號碼，派彩2:1。閱讀全文 →；鬼牌與Ca$h Card置於上方、原本零號的位置。每回合發三張牌。第二張結算主要賭注，全部三張構成一手牌，用於$5撲克獎勵。押在多於一張牌的賭注派彩為1賠(52−n)/n，所以三張額外牌使其莊家優勢為3/55，即5.45%，介於歐式與美式轉輪之間。單一牌派彩1賠50，而非規則的1賠51，令成本升至7.27%。它被推銷給其他州時稱對玩家與賭場都更好，兩者皆為真：1賠50勝過1賠35，5.45%勝過5.26%。
Joker Seven：相差一個百分點
Joker Seven於1960年代左右在英國郵輪上提供，在沒有轉輪下仍提供輪盤的多樣性。每手從一副新洗的54張牌中取七張，其中含兩張鬼牌，玩家押顏色、一對與三條。無對與兩對都派彩1賠3。無對出現概率23.81%，兩對22.65%，把四條算作兩對、兩張鬼牌算作一對。概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →相差一個百分點，成本幾乎加倍：4.75%對9.40%。兩對有八種形狀，其中一種，即兩對加三張單牌，佔了將近九成。
並列比較
此處每種紙牌遊戲的主要賭注，成本等於所複製的轉輪或略高。附加玩法才是成本所在。
哪些內容不變
一副牌是以不同方式選出一個口袋的轉輪。兩者重要的事相同。
- 概率相同的牌與轉輪的派彩，會得出與轉輪相同的莊家優勢，精確到小數。
- 賭場從牌加入的內容獲利：花色符號、彩色口袋、撲克牌型。
- 比規則少一個單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →的派彩，如Ca$h Card的1賠50，運作方式如美式五號碼注。
- 長賠率賭注由最常見的中獎組合定價：含鬼牌的皇家牌型，不是天然牌型。
問題
主要賭注成本等於所複製的轉輪；Ca$h Card略高。37張牌組，如2008年Barona所用，成本為歐式輪盤的2.70%。額外賭注成本較高。
加州法律不允許球或骰子決定賭注。奧克拉荷馬州於2018年取消其版本的規則。
本頁已定價的賭注中，是Joker Seven的無對，4.75%，接着是主要賭注的5.26%。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
Ca$h Card從55張牌發牌：52張普通牌、兩張鬼牌和一張Ca$h Card。投注2張牌派彩1賠25，4張1賠12，13張1賠3，26張1賠1，但單張牌為1賠50。找出組合賭注的規則，以及每種賭注的成本。
顯示解答
答案 組合賭注的派彩為1賠(52 − n)/n，成本為3/55 = 5.45%。單張牌1賠50，成本為7.27%。
驗算：50/2 = 25、48/4 = 12、39/13 = 3、26/26 = 1。規則將牌組視為52張牌，因此兩張鬼牌和Ca$h Card是55張中的三張莊家牌：3/55 = 5.45%。
按此規則，單張牌應派彩1賠51。1賠50時，每55次中獎一次，返還51單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →（包括注碼）：51/55 − 1 = −4/55，即7.27%。
較早版本有三張鬼牌和Ca$h Card，共56張牌。其組合賭注成本為4/56 = 7.14%，而投注三張鬼牌須派彩49/3，即1賠16⅓，才能與它們一致。1賠16時成本為8.93%，1賠17時僅為3.57%。
Triple Flop以38張牌進行輪盤：四種花色中從六到A的牌加兩張鬼牌，按通常輪盤賠率，但其投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →沒有花色賭注。要如何以投注枱面上可下注的籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →投注一種花色，成本是多少？花色賭注應派彩多少？
顯示解答
答案 在該花色的6-7-8、9-10-J和Q-K-A上各下$1街注賭注街注投注枱面上一列的三個號碼，派彩11:1。法文：transversale。閱讀全文 →，贏$9或輸$3。成本為5.26%，而花色賭注應派彩1賠3。
一種花色有九張牌，三個涵蓋三張的街注可將其全數覆蓋。九張中的任何一張最先出現時，一個街注以1賠11中獎，另外兩個輸掉：+11 − 2 = +$9。其餘29張牌出現時，三個賭注全輸：−$3。
平均每次發牌，每投注$3損失(9 × 9 − 29 × 3)/38 = −6/38美元。也就是每一美元的2/38，即5.26%，和雙零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →投注枱面上每種賭注相同。
規則(36 − n)/n對九張牌派彩27/9 = 1賠3。Spinette是奧克拉荷馬的一款牌輪，正有這種賭注。三個街注是把同一賭注分成三份：$3贏$9即1賠3。
Ca$h Card的$5撲克獎賞使用55張牌中所發的全部三張：52張普通牌、兩張鬼牌及Ca$h Card，皆非百搭牌。同花順（包括皇家同花順）的概率是多少？為甚麼順子比同花派彩更高？
顯示解答
答案 約547分之1。順子派彩更高，因為它較罕見：720手，相較於1,096手。
55張牌選三張共有26,235手。撲克牌型需要三張普通牌，其中22,100手（約佔84%）不含特殊牌。
同花順是同一花色連續的三張牌。每種花色有12組，從A-2-3到Q-K-A，因此共有48組，其中四組是A-K-Q皇家同花順：26,235手中有48手，約547分之1。
普通順子和同花的計數，與「撲克輪盤撲克注」頁面中52張牌的計法相同：720和1,096。派彩表金額派彩表每種賭注或結果的派彩清單。在機器與側注中，這裏決定莊家優勢。閱讀全文 →順子派彩$25、同花派彩$20，順序正確。
在加州的Barona賭場，法律規定由牌而非球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →決定遊戲結果。一個單零轉輪旋轉，並從標有0到36的37張牌中發出三張。若轉輪結果為0到12，第一張牌為結果；13到24，第二張；25到36，第三張。這會改變任一號碼的概率嗎？
顯示解答
答案 不會。每個號碼仍在37次中出現1次。
不論轉輪選哪張牌，該牌都是從37張中隨機抽出，因此任一指定號碼出現的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →為1/37。對轉輪三種選擇取1/37的平均，仍為1/37。
轉輪不決定號碼；它只決定算哪張牌。牌決定遊戲，符合該法律的要求，而賠率及2.70%莊家優勢都與普通單零轉輪相同。Bollman（2024）將其列為練習題。
漫畫點綴
一副牌保留賠率，附加玩法決定成本。
來源
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Wizard of Odds。「San Diego Roulette。」