實例：馬丁格爾場次
在枱限$500的賭枱，每次以十美元押紅色，每輸一次就加倍。逐次旋轉拆解，包括終結它的那一次。
以$1,000資金模擬的馬丁格爾場次。四十一次小贏，接着連輸六次，第七注被拒。場次曾經贏$410，最終輸$220，而這正是這套系統的本色。
計劃
在紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →上押$10。輸了就加倍；贏了就回到$10。枱限賭枱枱限允許的最低與最高注碼。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →是$500，所以注碼依次為10、20、40、80、160、320，接着是一注賭枱會拒絕的$640。連輸六次就會令系統失效；每次嘗試發生這種情況的概率是(19/37)⁶ ≈ 1.8%，而一個100次旋轉的場次約有50次嘗試。預期：100次旋轉內失效的概率約60%，失效時損失$630。
第1–30次旋轉
普通的馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →：一連串一至三次的輸局，每串都以一次勝出結束，淨賺+$10。到第30次旋轉，我們已贏了17次，每次都結束一個循環，累計贏$170。至今最高注碼是連輸三次後的$80。感覺就像一部印$10鈔票的機器。
第31–60次旋轉
情況大致一樣，其中一個循環連輸四次（注碼升到$160，然後勝出），一度令枱面上累計押了$310，感覺像是勇氣。60次旋轉後：完成41個循環，贏$410，資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →最低點是$1,040。每個馬丁格爾場次在大部分時間裏的直方圖都是這個樣子。
第61–66次旋轉
輸 輸 輸 輸 輸 輸。注碼10、20、40、80、160、320：輸掉$630。下一注應是$640；但枱限是$500。系統失效。我們可以押$500（即使勝出，這個循環仍輸$130），或重設為$10並接受損失。連續六個黑色賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →或零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →，每個循環的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →是1.8%。我們已玩了約45個循環。在45個循環中某處走到這一步的概率約55%。這不是倒霉，而是中位數。
- 第10百分位數 −$1,000
- 第25百分位數 −$1,000
- 中位數 −$1,000
- 第75百分位數 +$790
- 第90百分位數 +$1,690
賬目
60次旋轉後贏$410，66次後輸$220。總投注額：66次旋轉約$2,100，而每次固定押$10的玩家只是$660。$2,100總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →是$57；我們實際的−$220比它低約三分之一個標準差數學標準差方差的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →，對一個結果分佈帶有長左尾的系統來說並不出奇。若我們設$400止賺策略止賺預先設定的獲利目標，到達時結束場次。閱讀全文 →，在第60次旋轉停手，就會帶着+$410離開，而下一個場次每個循環同樣有1.8%的失效概率。
這個場次說明了甚麼
馬丁格爾把一個勝率48.65%的賭注，變成一個98%的循環都會贏、其餘2%輸掉63單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →的序列。它不改變每一美元的預期損失；它只是把投入的美元成倍放大。身旁的固定下注者投注額只有我們的三分之一，平均損失也只有三分之一。用這套系統玩一年的玩家，大多數晚上都會贏，整年卻會輸。
連輸有多常出現
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的概率，以及每次輸後都加倍的馬丁格爾玩家到當時已損失多少。
| 連輸次數 | 概率 | 約每幾次出現1次 | 目前已損失 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
概率是19/37自乘，每輸一次乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次中，可以開始這種連輸的旋轉有很多，因此一整晚下來，出現的概率遠高於單一列所示。
問題
要連輸九次而不是六次才會失效：每個循環0.25%，一旦發生就輸$5,110。懸崖更罕見、更高，同樣是−2.70%。
那一注有48.65%的概率會贏，但無論如何這個循環仍是−$130。馬丁格爾失效之後沒有好的走法；只有你接下來選擇的注碼。
對那個場次有影響。對所有場次的平均值沒有。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
在枱限$1到$500的賭枱上，一名馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →玩家在單零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪上以$1押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →開始。連輸幾次會無法再加倍？到那時已輸多少？這多久發生一次？
顯示解答
答案 連輸九次：已輸$511，下一注將為$512。約403個序列中發生一次。
注碼為1、2、4、8、16、32、64、128和256：合計$511。第十注會是$512，超過上限。下注$500若中獎，玩家仍輸$11；若輸掉，則輸$1,011。
紅色以19/37的概率輸掉，因此連輸九次的概率為(19/37)⁹ ≈ 0.25%，約403個序列中一次。每個完成的序列贏$1，所以玩家預期在一次$511損失之前，會有約$402的小額贏款，而平均仍會損失總投注額的2.70%。
在雙零轉輪上，概率為(20/38)⁹，約323個序列中一次。Bollman（2021）印為「約833分之1」，那是(18/38)⁹，即連贏九次的概率。
漫畫點綴
四十一次小贏，一次大輸。這就是整套系統。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”