特殊輪盤轉輪

趣味數學

先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。

1. 在澳洲開發的Royal Roulette有50個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →：從2到K的48張牌，加上一張A和一張鬼牌。單張牌1賠47，兩張1賠23，三張1賠15，四張1賠11，六張1賠7，八張1賠5，十二張1賠3，十六張1賠2，二十四張1賠1。這些派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →遵循甚麼規則？每種賭注成本是多少？

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   答案 涵蓋n張牌的賭注派彩為1賠(48 − n)/n，因此每種賭注成本皆為2/50 = 4%。

   以幾種賭注驗算規則：47/1 = 47、36/12 = 3、32/16 = 2、24/24 = 1。它符合全部九種。規則將轉輪按48個口袋定價，因此A與鬼牌是兩個莊家口袋，正如美式轉輪上的0和00。

   50個口袋中有兩個莊家口袋，莊家優勢為4%。「歐式」版本移除鬼牌並保留派彩：49個口袋中有一個莊家口袋，莊家優勢為2.04%。

2. Super 62有一種賭注，押所選數字出現在中獎號碼中。為普通美式轉輪設計同樣賭注。1到36的號碼中，每個數字出現於多少個號碼？哪些派彩可維持通常的5.26%？

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   答案 只有出現在3或4個號碼的數字才有整齊的派彩（1賠11和1賠8）。數字1、2和3無法以整數籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →公平派彩。

   數一數號碼。數字1出現在1、10到19、21和31：共13個號碼。數字2也出現在13個號碼，數字3則出現在10個。數字4、5和6各出現在四個號碼（4、14、24、34），7、8和9各出現在三個。

   涵蓋n個號碼的賭注，若要維持美式莊家優勢，須按1賠(36 − n)/n派彩。四個號碼為1賠8，三個號碼為1賠11，兩者皆為整數。13個號碼時為23/13，約1賠1.77；10個號碼時為1賠2.6。將1.77向下取整為4賠7，賭注成本為5.92%；向上取整為1賠2，玩家有2.63%的優勢。將2.6向下取整為2賠5，成本為7.89%。

   數字0則要作出選擇：僅10、20和30時，以1賠11派彩，成本為5.26%；加上0和00便是五號賭注，以1賠6派彩、成本為7.89%，如同籃子注賭注籃子注在單零轉輪上：以一枚籌碼押0、1、2、3，派彩8:1。也稱前四注、quatre premiers。閱讀全文 →。

   數字號碼按規則可派彩莊家優勢

   1, 2131賠1.774賠75.92%

   3101賠2.62賠57.89%

   4, 5, 641賠81賠85.26%

   7, 8, 931賠111賠115.26%

3. 100 To 1 Roulette的轉輪有100個號碼和5個莊家符號，多數賭注的派彩為1賠(100 − n)/n。它的賭注涵蓋1、2、3、4、5、10、15、20或50個口袋，並分別派彩1賠100、1賠49、1賠32、1賠24、1賠19、1賠9、2賠11、1賠4和1賠1。單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →和涵蓋15個口袋的Avenue違反了規則。還有哪個賭注違反規則，成本是多少？

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   答案 三口袋賭注：規則給出1賠32⅓，實際派彩1賠32，成本為5.71%而非4.76%。

   以規則驗算各派彩：98/2 = 49、96/4 = 24、95/5 = 19、90/10 = 9、80/20 = 4和50/50 = 1，均符合。三個口袋時，規則為97/3 = 32⅓，任何籌碼都無法如此支付，故向下取整為32。

   賭注在105次旋轉中中3次，每次返還33單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →（包括注碼）：每投注105單位返還3 × 33 = 99單位，損失為6/105 = 5.71%。

4. 已發表的Roulette 73設計有72個號碼及一個零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →，每種賭注的派彩為1賠(72 − n)/n。它的24個灰色號碼可以14枚籌碼覆蓋：4個單號和10個分注賭注分注兩個相鄰號碼，派彩17:1。閱讀全文 →。這個14枚籌碼的賭注成本是多少？

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   答案 14枚籌碼的1.37%，與該轉輪上其他每種賭注一樣。

   先用較長算法：單號1賠71，分注1賠35。若4個單號之一出現，贏71並輸另外13枚籌碼：+58。若20個分注號碼之一出現：+35 − 13 = +22。其他49個口袋時，輸掉全部14枚。以73次旋轉平均計算：4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14單位，即每枚籌碼的1/73。

   較短算法：期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是注碼的−1/37。閱讀全文 →可相加。每枚籌碼都是普通賭注，各自損失自身的1/73，因此14枚籌碼損失14/73。合併賭注只改變結果的分佈，從不改變成本。

5. Super 62有60個號碼、0和00，並按1賠(60 − n)/n派彩。其設計者還畫出有一、三和四個莊家口袋的版本。Alphabetic Roulette在25個口袋上按1賠(24 − n)/n派彩，另有Y與Z各自佔一個口袋的變體。請為全部五種定價。

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   答案 一到四個零號時：1.64%、3.23%、4.76%和6.25%。Y與Z分開的Alphabetic：7.69%。

   這些版本都保留派彩，只改變莊家口袋數，因此莊家優勢為莊家口袋數除以全部口袋數。

   一個零號、61個口袋：1/61 = 1.64%。兩個、62個口袋：2/62 = 3.23%。三個、63個口袋：3/63 = 4.76%。四個、64個口袋：4/64 = 6.25%。每增加一個零號，成本約增加一個半百分點。

   Alphabetic按24個字母派彩。Y與Z共用一個口袋時，莊家在25個中佔1個，即4%。Y與Z分開時，莊家在26個中佔2個，即7.69%，與三零轉輪一樣。將一個口袋分成兩個，成本幾乎翻倍。

   轉輪口袋莊家口袋莊家優勢

   60個號碼，一個零號6111.64%

   Super 626223.23%

   60個號碼，三個零號6334.76%

   Super 646446.25%

   Alphabetic2514.00%

   Alphabetic，Y與Z分開2627.69%

6. 一個古董轉輪有18個口袋：1到16、0和00。奇數及0為紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色，偶數及00為黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →色，16個號碼排在4乘4的投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →上。設計一個使每種賭注莊家優勢相同的派彩表金額派彩表每種賭注或結果的派彩清單。在機器與側注中，這裏決定莊家優勢。閱讀全文 →。還有，既然0是紅色，為甚麼它必須使紅色賭注輸掉？

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   答案 派彩1賠(16 − n)/n：單一號碼1賠15、兩個號碼1賠7、四個1賠3、八個1賠1。每種賭注成本為11.11%。若0使紅色賭注中獎，紅色會成為公平賭注。

   按不存在0及00的情況為轉輪定價。涵蓋n個號碼的賭注在18次中中n次，派彩1賠(16 − n)/n，因此每投注18單位返還16單位（包括注碼）。每種賭注成本為2/18，即11.11%。

   投注枱面的自然賭注可得整數：單一號碼1賠15，兩個相鄰號碼1賠7，一列或一欄賭注欄注投注枱面一個垂直欄中的十二個號碼，派彩2:1。閱讀全文 →四個號碼1賠3，兩列，或單、雙、小或大的八個號碼1賠1。三號賭注需1賠4⅓；向下取整為1賠4時，成本為16.67%。

   紅色涵蓋八個奇數。若0雖為紅色也使紅色賭注中獎，紅色便以1賠1涵蓋18個口袋中的9個：即沒有任何優勢的公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →。莊家口袋唯有使除自身賭注外的每種賭注都輸，才能帶來莊家優勢。