破產風險
在達成目標前輸掉全部資金的概率。
押等額賠付注時，破產風險遵循賭徒破產公式。資金$500、注碼$10、目標$600時，約57%的情況會達成目標，其餘則會破產。
問題
你有a個單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →，想達到a+b個單位，每次以一個單位押在等額賠付注賭注等額賠付注紅／黑、單／雙、大／小。18個號碼，派彩1:1。閱讀全文 →上，中獎概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →p＝18/37，輸的概率q＝19/37。在資金歸零之前達成目標的概率是多少？Pascal、Fermat和Huygens在1650年代已推導出答案，這是概率論最早的成果之一。
賭徒破產公式
P（達成目標）＝（1−（q/p）ᵃ）／（1−（q/p）ᵃ⁺ᵇ）。破產風險數學破產風險達到目標或旋轉次數前，損失全部資金的概率。閱讀全文 →是一減去該數值。q/p＝19/18≈1.0556時，這個比例會隨單位數呈指數增長，所以公式對小單位懲罰極重：達成目標所需的下注次數越多，途中繳付2.70%過路費的次數也越多。
如何解讀
單位越小越吃虧。用每次$10的注碼嘗試把$500翻倍，成功概率為6%；一次過下注$500則為48.6%。在負期望的遊戲中，大膽玩法（次數較少、注碼較大）能令達成目標的概率最大，因為這樣莊家優勢起作用的次數最少。但它也令你結果的方差數學方差衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →最大，而且很快就會結束整晚的遊戲。這條定理稱為「大膽玩法最優」，由Dubins與Savage於1965年證明。
問題從何開始
這個問題比輪盤更古老。1656年，Pascal給Fermat出了一道謎題：兩名玩家擲三顆骰子，各以12枚計數籌碼開始；擲出11時，一枚籌碼往一方移動，擲出14時則往另一方移動。兩人都解出了答案；Huygens從數學家Pierre de Carcavi的信中得知此題，於1657年把它列為第一本概率論著作中的第五題，附有答案但沒有證明。十一有27種擲法，十四只有15種，因此每枚籌碼往第一名玩家一方移動的比例是14次中有9次；按上述公式，在雙方各有12枚籌碼時，他贏得全部的可能性約為輸掉全部的1,157倍。2.70%的優勢小得多，但同一公式顯示了它在多次下注後的作用。
一次真正的大膽下注
2004年4月，英國青年Ashley Revell賣掉幾乎所有財物，連衣服也不例外，帶着$135,300到拉斯維加斯的Plaza。小額下注幾次後，他把全部金額一次押在紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →上。球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →落在紅7，他帶着$270,600離開。在雙零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪上，這一次旋轉的勝算是47.37%，平均成本為$7,121，即一筆賭注5.26%的莊家優勢。若分拆成每次$10的下注，要達成同一目標幾乎毫無希望。大膽玩法不會令賭注變好；它只是令整個過程盡可能縮短。
沒有目標的破產風險
若只是玩到破產，或在N次旋轉後停止，問題便成為「我的資金在N次旋轉內跌至零的概率是多少？」。一般的N沒有封閉解，但本站的模擬器可以算出：$500資金、每次$10押紅，在100次旋轉中幾乎不會破產（低於1%），500次旋轉約9%，5,000次約95%。若沒有停止規則，概率會趨近100%，這就是莊家優勢數學莊家優勢賭場平均保留每筆注碼的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →的長期版本。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$350
持續多久，以及領先多少
另有兩項經典結果回答玩家真正會問的問題。沒有目標時，在歐式轉輪上以固定注碼押等額賠付注，每個資金單位平均可維持37次旋轉，美式轉輪則為19次，因為每次旋轉平均拿走1/37個單位（美式轉輪為1/19）：100個單位平均可維持3,700次旋轉，不過這類場次有一半會在3,134次內結束（見「場次長度與成本」）。而不論資金多雄厚，在歐式轉輪上曾經領先k個單位的概率都是（18/19）ᵏ。領先一個單位為95%，領先十個為58%；但無論資金多雄厚，曾經領先13個單位的概率都達不到一半；在美式轉輪上，概率為（9/10）ᵏ，到7個單位時已跌破一半。
要有五五波機會需要多少資金
把問題反過來：要在輸光之前，至少有五五波的機會贏得某個金額，需要帶多少資金？小額贏款不需要太多。金額較大時，所需資金會急劇上升，過了某一點後，任何資金都不足夠，因為即使資金無限，曾經領先那麼多的機會也不足一半。Taylor（2021年）換了一個說法：在美式轉輪上，要有五五波機會達到100個單位，必須以94個單位開始，即冒94個單位的風險去贏6個。在歐式轉輪上則需要88個。
實際啟示
先決定你想達到甚麼。若目標是贏取特定金額，下注就要次數少、注碼大。若目標是玩上一整晚，就下小注，並接受莊家優勢會從龐大的總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →中拿走2.70%。若兩者都想要，就必須有所取捨，而被犧牲的通常是目標。
公式
問題
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
你有$100，想得到$1,000，只押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →色。方案一：每次押$1。方案二：每次押上全部資金，直到超過$500，之後只押剛好足以達到$1,000的金額。哪個方案較好，差多少？
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答案 方案二，而且遠遠較好。它約有9.0%的機會達到$1,000，接近公平情況的10%。方案一約10²²次中只成功7次。
在公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →中，無論怎樣下注，由$100增至$1,000的概率都是十分之一，因為你的資金平均值維持在$100。
莊家優勢從每一注拿走2.70%，所以總投注額越少，越接近十分之一。方案二在少數幾注內決定結果：$100變$200、$400、$800，然後押$200便足夠。其成功概率約9.0%。方案一需要數千注才結束，每注都很小的莊家優勢累積起來，幾乎注定破產。
這是Dubins–Savage結果最簡單的形式（Epstein，2013）：在對莊家有利的遊戲中，需要押多少就押多少，並盡可能減少下注次數。
你有$500，想得到$1,000，拿到後立即停止。你選一種賭注，一直重複直到中獎一次或錢用完。哪一種成功概率最高？
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答案 在紅色一次押$500：48.6%。每一種把錢分散於較小賭注的方案都更差。
選擇每筆注碼，使一次中獎便足夠：單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →押$30贏$1,050，分注賭注分注兩個相鄰號碼，派彩17:1。閱讀全文 →押$60贏$1,020，依此類推。接着計算錢用完前至少一注中獎的概率。十六個$30單號全未中的概率為(36/37)¹⁶ = 64.5%，所以達到$1,000的概率為35.5%。
表格列出每一種賭注。紅色最佳，因為一注即能達成，因此莊家優勢只在$500上付一次。六線注賭注六線注相鄰兩列的六個號碼，派彩5:1。法文：sixain。閱讀全文 →第二，因為只需三注。單一打注賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →最差，是12/37的機會；即使以$250單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →持續下注直到有$1,000或更多，打注的成功率也只有46.4%。
Bollman（2024）為美式轉輪建立同樣表格。他表中打注一行有誤：應為12/38 = 31.6%。
賭注注碼 × 下注次數達到$1,000的概率單號$30 × 1635.5%分注$60 × 835.9%街注$90 × 534.5%角注$125 × 436.7%六線注$166, $166, $16841.2%打注$500 × 132.4%紅$500 × 148.6%你每次旋轉在紅色押一單位，使用永遠不會用盡的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →。第一次旋轉後，你領先一單位或落後一單位。你最終回到恰好打平的概率是多少？
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答案 37分之36，即97.3%。美式轉輪上是38分之36，即94.7%。
若第一次旋轉中獎（37次中18次），你領先一單位，而莊家優勢會把每個無休止的場次往下拖，因此遲早會回到打平：這是必然。若輸掉（37次中19次），你必須回升一單位，而最終能回升一單位的概率是18/19（見上表）。
合計：18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37。
一般而言，概率為1減去每次旋轉中獎和輸掉概率之差：歐式轉輪為1 − 1/37，美式為1 − 2/38。沒有零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的遊戲中，差為零，概率是1：累計輸贏總會回到打平。Epstein（2013）給出一般規則。
Pascal的1656年問題：兩位玩家擲三顆骰子，各自以12枚籌碼開始。每擲出11，一枚籌碼移給第一位玩家；每擲出14，一枚移給第二位；其他點數不計。第一位玩家贏得全部24枚的概率多高？若改為你每次旋轉在紅色押1單位，由朋友充當賭場一方，雙方各12單位，贏得全部24單位的概率多高？
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答案 第一位玩家約在1,158次中贏1,157次。你押紅色時，贏得全部24單位的概率只有約34%。
三顆骰子有27種方式擲出11、15種方式擲出14，因此每次移動的籌碼有42次中的27次給第一位玩家，即14次中的9次。雙方各從12開始，贏得全部的概率是1/(1 + r¹²)，其中r是對方概率與己方概率的比率。
對第一位玩家，r = 5/9，(5/9)¹² ≈ 0.00086，因此概率約0.99914：勝算為9¹²比5¹²，即282,429,536,481比244,140,625，約1,157比1。Huygens在1657年刊出的正是這些數字。
押紅時，由於零號r = 19/18，(19/18)¹² ≈ 1.913：你的概率是1/2.913 ≈ 34.3%。若是擲硬幣，則為50%。每注2.70%的莊家優勢，經過所需的許多賭注累積成16個百分點的差距。
漫畫點綴
大膽玩法最優，但也很快結束。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”