問題：兩個打注與一枚籌碼

問題

你在第一打賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →押$10，第二打押$10，並在零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →押$1。（a）可能的結果有哪些？各自的概率是多少？（b）期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是注碼的−1/37。閱讀全文 →是多少？（c）零號的籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →能改善這注嗎？

解答（a）與（b）

各種結果：球設備球沿球道、以反方向擲向轉子的那顆小球。現代球由仿象牙或Teflon製成，直徑18–21 mm。閱讀全文 →落在1–24（24個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →）時，一個打注贏$20，另一個輸$10，零號輸$1：淨額+$9。球落在25–36（12個口袋）時，兩個打注都輸，零號也輸：−$21。球落在零號（1個口袋）時，兩個打注輸$20，零號贏$35：+$15。期望值 = (24 × 9 + 1 × 15 − 12 × 21)/37 = (216 + 15 − 252)/37 = −21/37 ≈ 在$21注碼上每次旋轉−$0.57，即2.70%。

解答（c）

沒有零號籌碼時：(24 × 10 − 13 × 20)/37 = (240 − 260)/37 = −20/37 ≈ 在$20注碼上−$0.54，同樣是2.70%。零號籌碼把開零號時的−$20變成+$15（每37次有一次多得$35，折合每次旋轉$0.95），但在其餘36次旋轉各要付出$1（折合每次旋轉$0.97）。淨變化：每次旋轉−$0.03，即多押那一元的2.70%。這份保險的定價和其他一切完全一樣。

為何這結論普遍成立

期望值可以相加。任何一組同時下的賭注，其期望值等於各部分期望值之和，而每一部分都是其注碼的−1/37。因此，任何組合都是總注碼的−1/37。無論在投注枱面設備投注枱面賭枱上印製的下注格。也稱 table、felt、cloth。閱讀全文 →上怎樣擺放籌碼、放多少枚，都逃不過這個結果；你能放出的任何組合，都可以用賭注建立器驗證。組合改變的是分佈：你多常贏、贏多少，以及最壞情況有多糟。

更難的延伸問題

找出一個涵蓋全部37個號碼的標準賭注組合。三個打注（各$10）加上零號$1：開出1–36中任何號碼，淨額都是−$1（一個打注贏$20，另外兩個輸$20，零號輸$1）；開出零號，淨額為+$35 − $30 = +$5。期望值 = (36 × (−1) + 5)/37 = −31/37，注碼為$31：2.70%。你可以保證自己永遠不會遇上意外，卻仍要為這項特權付出同樣的價錢。

公式

問題