輪盤連續結果的概率
單一顏色的長連續結果很常見，但對下一次旋轉沒有意義。
連續五次紅：2.7%。十次：0.074%。在200次旋轉的場次中，單一顏色連續六次出現的概率超過一半。
連輸有多常出現
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的概率，以及每次輸後都加倍的馬丁格爾玩家到當時已損失多少。
| 連輸次數 | 概率 | 約每幾次出現1次 | 目前已損失 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
概率是19/37自乘，每輸一次乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次中，可以開始這種連輸的旋轉有很多，因此一整晚下來，出現的概率遠高於單一列所示。
單次連續結果
接下來k次旋轉全為紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →是（18/37）ᵏ。連續兩次：23.7%。連續五次：2.7%。連續十次：0.074%，約1,350分之1。連續二十次：180萬分之1。連續二十六次，即蒙地卡羅的紀錄：1.37億分之1。這些是某段連續結果從某一次特定旋轉開始的概率，而這幾乎不是任何人真正想問的問題。
一個場次中
人們真正想問的是「我的場次中某處會不會出現連續k次？」，答案遠高於（18/37）ᵏ，因為200次旋轉的場次提供了將近200個連續結果的起點。紅或黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →任一顏色連續六次或以上，在200次旋轉的場次中出現的概率約為94%；連續八次或以上約47%；連續十次或以上約14%。若預先指定顏色，概率會降至約75%、27%和7%。在賭枱前坐上一整晚的玩家，每晚都會看到長的連續結果。
馬丁格爾為何在意
每個負向加碼系統策略加碼系統根據先前結果改變注碼的任何規則。負向加碼在輸後提高，正向加碼在贏後提高。閱讀全文 →都有一個足以令它崩潰的連輸長度：基本注碼$10、枱限$500時為六次，斐波那契策略斐波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →為十次，押打注賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →每次加至三倍則為五次。等額賠付注連輸六次的概率為每次嘗試（19/37）⁶≈1.8%，而200次旋轉的場次大概包含100次嘗試，因此在這種長度的場次中，大約每五個就有四個會碰上斷崖。輪盤連續結果的概率，正是這道斷崖並不罕見的原因。
熱門與冷門號碼
同樣的算術也適用於單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →。300次旋轉中，每個號碼的期望出現次數為8.1；標準差數學標準差方差的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →約2.8。每一次都會有某個號碼純屬偶然地出現15次，也有某個只出現2次。結果看板標示「熱門」號碼，其實是在標示正態分佈的頂端。實驗室會說明要多少次旋轉，熱門號碼迷思熱門號碼近期出現頻率高於預期的號碼。在公平轉輪上，它不預測任何事。閱讀全文 →才有意義（數千次，且來自同一個已確認的轉輪）。
獨立性才是重點
連續十次紅不會令黑更容易出現，也不會令紅更容易出現。兩者皆為18/37。連續結果是隨機序列的特性，沒有它們反而可疑：若200次旋轉的序列中沒有任何超過連續四次的結果，會比出現連續十二次更能證明遭人操縱。
公式
問題
最著名的是1913年8月18日在蒙地卡羅連續出現26次黑。另據報道，1943年一間美國賭場曾連續出現32次紅。考慮到賭場進行的旋轉次數之多，兩者都與純屬偶然的情況相符。
無論怎樣都是18/37。按你的計劃下注，或者不下注。
不是。偏差呈現為某些口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →在數千次旋轉中更常出現，不是呈現為某種顏色的連續結果。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
歐式轉輪平均需要多少次旋轉，才使37個號碼中的每一個至少出現一次？
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答案 平均約155次旋轉；中位數為147。
逐一計算每個新號碼所需的等待時間。第一次旋轉總會顯示新號碼。看過1個號碼後，37個口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →中36個是新的，因此下一個新號碼平均需要37/36次旋轉。看過k個號碼後，平均需要37/(37 − k)。
將等待時間相加：37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5次旋轉。
大部分等待時間花在最後階段。僅最後一個號碼平均就需要37次旋轉，最後五個約需85次。在美式轉輪上，同樣的求和約得161。這是優惠券收集問題；同一平均值也可由標準計算得到。
歐式轉輪旋轉37次、每個口袋一次時，預期會看到多少個不同號碼？
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答案 約23.6。大約三分之一的號碼（約13個）完全不會出現。
取一個號碼，例如17。每次旋轉它以36/37的概率未出現，所以37次都未出現的概率為(36/37)³⁷ ≈ 0.363。
每個號碼的概率相同，因此平均缺少37 × 0.363 ≈ 13.4個號碼，而37 − 13.4 ≈ 23.6個出現，其中許多出現兩次或以上。
輪盤玩家稱之為「三分之一法則」。它不是法則，只是重複出現的算術：在一段與轉輪口袋數相同長度的序列中，約三分之一的號碼會缺席，公平轉輪如此，其他轉輪亦然。38個口袋的轉輪上，比例同樣為(37/38)³⁸ ≈ 0.363；口袋很多的轉輪則趨近1/e ≈ 0.368。
一位朋友給你看兩份清單，各列50個顏色（紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →或黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →），據稱都來自去掉零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →的轉輪。一份換色25次，最長連串為六次。另一份換色35次，連串從未超過三次。哪一份是編造的？
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答案 第二份。真實清單約換色24或25次。換色35次的清單約每500份才出現一份，沒有長於三次連串的清單約每100份出現兩份。
每個新顏色都各以一半概率重複上一色或換色，所以49次換色機會平均有24.5次換色，上下浮動約3.5。三十五比平均值高出三個這樣的幅度；公平轉輪約每500份清單才有一份換色這麼多。
連串也說明同一件事。約98%的真實50項清單含有長度四或以上的連串，最長連串最常見是五或六。
要求人們編造一份隨機清單時，他們換色過於頻繁，因為四或五次連串在他們看來像某種規律。Taylor（2021）在學生編造的擲硬幣紀錄中指出同樣的破綻：真正的隨機比人們預期的更常出現連串。
一本賭場故事集講述一名玩家的號碼連續出現五次，並稱之為紀錄。在歐式轉輪上這有多罕見？在一家有20張賭枱、每張每小時旋轉40次、日夜運作的賭場某處，又應多常發生？
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答案 事先指定號碼連續五次：6,900萬分之1。任一號碼在首次出現後再連續出現四次：187萬分之1。該賭場一年約旋轉700萬次，因此每年應出現三至四次連續五次。
指定號碼每次旋轉以1/37概率出現，因此連續五次的概率為(1/37)⁵ = 69,343,957分之1。但沒有人事先指定號碼。無論第一次出現甚麼，接下來四次必須重複它：(1/37)⁴ = 1,874,161分之1。
20張賭枱 × 每小時40次旋轉 × 24小時 × 365日 = 每年7,008,000次旋轉。每次旋轉都可開始一個連串，因此賭場預期每年有7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7次連續五次。
沒有這類官方紀錄，也不需要：在一張賭枱罕見的事件，放到整間賭場卻是例行之事，而故事講的正是發生那件事的那張賭枱。Goldman（2007）的故事設定在雙零轉輪，相應數字為7,900萬分之1及209萬分之1。
漫畫點綴
長連續結果正是隨機的樣子。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.