斐波那契輪盤策略
在斐波那契輪盤策略中，注碼依序為1、1、2、3、5、8、13……輸後前進一步，贏後後退兩步。
它無法擊敗轉輪；任何注碼計劃都做不到。它比馬丁格爾溫和，因此在觸及限額前能撐過更長的連輸，追回損失也更慢。預期損失同樣是總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的2.70%。
數列如何構成
每個數字都是前兩個數字的總和。
所以8和13之後是21。
將每個數字畫成正方形，這些正方形便能拼在一起：每個新的正方形，邊長等於前兩個並排起來的長度。每個正方形上的四分之一圓連成螺旋線。
逐步走一遍數列
輸了向右移一步。贏了向後退兩步。
注碼與結果均以基本賭注為單位。
斐波那契輪盤系統如何運作？
寫下斐波那契策略斐波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。每一項都是前兩項之和。從第一項開始，下注那麼多個單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →。輸了，向右移一步。贏了，向左移兩步；若前面不夠兩步，就回到起點。這就是整個系統。表格列出每一步的成本：一連串輸局若被枱限賭枱枱限允許的最低與最高注碼。最高額會阻止加倍加碼系統。閱讀全文 →或你的資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →截斷，損失的就是至此為止所有注碼的總和。
一個場次是怎樣的？
以$10為基本注碼，旋轉八次：輸 輸 贏 輸 輸 輸 贏 贏。注碼依序為10、10、20（贏，後退兩步，回到第1步）、10、10、20、30（贏，後退兩步，回到第2步）、10（贏，回到起點）。損失：10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60。贏得：20 + 30 + 10 = 60。輸五次、贏三次，結果收支平衡。這就是此系統的吸引力。代價也寫在同一行裏：為了走到這一步，你下了$120的注，而投注的每一分錢都要承擔莊家優勢數學莊家優勢賭場平均保留每筆注碼的比例：歐式輪盤為2.70%。閱讀全文 →。
為甚麼後退兩步，而不是一步？
因為一次贏正好抵銷兩次損失。每個數字都是前兩個之和，因此以5個單位的注碼贏時，會取回剛輸掉的2與3。把它想成樓梯：每輸一次上一級，每贏一次下兩級。你站在哪一級，就是欠下多少。在第5步時你落後7個單位，在第8步時落後33個單位，回到第一步時剛好收支平衡。利潤只來自在第一步贏，每次一個單位。
贏和輸幾乎一樣多，一次贏換兩步聽起來很划算，而且多數時候樓梯確實會帶你走回下面。問題是，越往上爬，每級越高。在第一步贏十次，賺10個單位。在第6、7和8步輸三次，卻要輸8 + 13 + 21 = 42。
- 第10百分位數 −$500
- 第25百分位數 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位數 +$250
- 第90百分位數 +$920
斐波那契系統有效嗎？
無效，至少不能讓你最終贏錢。計算和每種系統一樣：每一注平均損失其注碼的1/37，因此整個序列損失總投注額的1/37。在輪盤上用斐波那契序列下注不會改變這一點，因為不論籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →大小，轉輪的派彩賠率都一樣。斐波那契的注碼會逐漸上升，因此每次旋轉的投注額比固定下注策略固定下注每次旋轉下注相同金額。所有加碼系統比較的基準。閱讀全文 →多，每個場次的預期損失數學預期損失期望值乘以總投注額；在一個場次或期間內平均損失的金額。閱讀全文 →也較高。馬丁格爾策略馬丁格爾每次輸後將賭注加倍的加碼系統。請見策略區了解它能做與不能做的事。閱讀全文 →投注得更多，也輸得更多。
它比馬丁格爾安全嗎？
它只是較慢，而較慢不等於較安全。斐波那契注碼每步約增長1.6×，而非2×，因此以$10基本注碼計，約連輸十次才會碰到$500限額，而不是六次。這使懸崖較少出現：等額賠付注連輸十次的概率為(19/37)¹⁰ ≈ 0.13%，連輸六次則為(19/37)⁶ ≈ 1.8%。但懸崖也更高，因為走到那裏之前已下注更多，而且一次贏無法挽回。
這些數字從哪裏來？
來自一道關於兔子的謎題。比薩的李奧納多（後人稱他為斐波那契）在1202年的《Liber Abaci》中提出：從一對兔子開始，每對兔子從出生後第二個月起每月生出一對新兔子，問共有多少對。答案依次是1、2、3、5、8、13。他不是第一個發現這條規則的人。研究詩歌格律的印度學者更早已把它記下：Singh（1985）把它追溯至600至800年間的Virahanka，之後是Gopala與Hemachandra。
他們都沒有想過輪盤。本頁引用的資料沒有說明誰最先按這個序列下注。資料能說明的是：這個序列的算術與輪盤的算術從不相交，一個說注碼如何增長，另一個說每一注的回報是多少。
連輸後會損失多少？
兩個恆等式讓上表容易驗算。連輸n次後，總損失是第(n + 2)個斐波那契數減1，即1、2、4、7、12、20等，而下一注的注碼是第(n + 1)個斐波那契數。Bollman（2021）以歸納法證明了同一結果，但他的序列以1、2、3開頭，因此每個數字都移後一位。由1個單位起步、限額500個單位時，馬丁格爾無法下第10注，即512個單位。斐波那契可以下第14注，即377個單位，但無法下第15注，即610個單位。
在打注或欄注上會改變甚麼？
在派彩1賠2的打注賭注打注1–12、13–24或25–36，派彩2:1。閱讀全文 →或欄注賭注欄注投注枱面一個垂直欄中的十二個號碼，派彩2:1。閱讀全文 →上，不需要後退。以注碼F贏時派彩2F，一定多於之前輸掉的全部金額，因此每次贏都會讓這一輪以獲利結束。代價是打注37次中只贏12次，所以長時間連輸常見得多：打注連輸十四次約每242次嘗試出現一次，押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →則約每11,000次才一次。
如果只在連贏兩次後停止呢？
另一種變體不論輸贏，每次旋轉後都前進一步，只在連贏兩次後停止。若連贏兩次之前輸了n次，獲利為第(n + 1)個斐波那契數加1：連贏來得早，獲利較小；來得晚，獲利較大，而贏的注碼也相應增大了。早來的連贏總是出現在小注碼時；晚來的連贏，可能正好要在場次最糟的時刻下一大注。
模擬器 · 斐波那契
以$1,000資金進行等額賠付注的2,000個場次。
基本賭注$10 · 枱限$500 · 每場次100次旋轉
連輸有多常出現
單零轉輪上的等額賠付注，在37次旋轉中有19次會輸。每一列顯示某一段指定旋轉全數輸掉的概率，以及每次輸後沿數列前進一步的斐波那契玩家到當時已損失多少。
| 連輸次數 | 概率 | 約每幾次出現1次 | 目前已損失 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26.4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13.5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7.0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1.8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0.94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0.48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0.25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0.13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $1,596 | $987 |
概率是19/37自乘，每輸一次乘一次，從某一次指定旋轉起算。一個很長的場次中，可以開始這種連輸的旋轉有很多，因此一整晚下來，出現的概率遠高於單一列所示。
問題
有：贏後前進，輸後後退。效果像較慢的Paroli策略Paroli正向加碼：贏後加倍，輸後或連贏三次後重設。也稱反向馬丁格爾。閱讀全文 →。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
採用每次旋轉後不論輸贏都沿序列前進一步、並在連贏兩次後停止的變體：注碼為1、1、2、3、5、8，依此類推。前十四個結果為W L W L L L W L L L W L L W。目前輸贏如何，下一注是甚麼？
顯示解答
答案 輸22單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →。下一注為610單位；若中獎，場次將以贏588單位結束。
注碼是前十四個斐波那契策略斐波那契遵循1、1、2、3、5、8、13…數列的加碼系統：輸後前進一步，贏後後退兩步。閱讀全文 →數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233和377。將贏的注碼相加、輸的注碼相減：+1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22。
最後一次結果為中獎，因此再中一次便結束。下一個注碼是610：中獎後為+588，輸掉後為−632，下一個注碼為987。
這個變體總是以盈利結束，但本例需要610單位的賭注才能如此。依通常規則，中獎後退兩步，同樣的十四個結果只會輸1單位，下一注為2。Bollman（2021）從1、2、3開始該序列，結果輸1單位，下一注為3。本例的通常規則輸得較少，因為每次中獎都會將注碼拉回較低處。
旋轉注碼結果累計總額11W+121L032W+243L−155L−668L−14713W−1821L−22934L−561055L−1111189W−2212144L−16613233L−39914377W−22在同一變體中，為甚麼n次輸掉後接着兩次中獎，總會留下第(n + 1)個斐波那契數加1的利潤？
顯示解答
答案 n次輸掉合計為第(n + 2)個斐波那契數減1，而接下來兩次中獎的注碼相加，比它多出第(n + 1)個數加1。
以F₁、F₂、F₃……表示1、1、2、3、5……每個數都是前兩個數的和。
輸掉的總額：F₁ + F₂ + … + Fₙ。將F₂所代表的1加到此和，便可逐步合併：F₂ + F₁ = F₃，接着F₃ + F₂ = F₄，如此繼續，直到整個和為Fₙ₊₂。因此輸掉總額為Fₙ₊₂ − 1。
中獎的是接下來兩個注碼Fₙ₊₁和Fₙ₊₂。利潤：Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1。輸四次時，即F₅ + 1 = 6單位。
漫畫點綴
黃金比例遇上最高注碼告示牌。
來源
- RouletteDoc。策略說明與示例。
- Roulette77。策略說明與示例。
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.