長期收斂：輪盤中的大數定律
平均值如何逐步趨向−2.70%，以及為何所需時間比直覺預期的更長。
隨着旋轉次數累積，每次旋轉的平均損失會收斂至−1/37，且離散程度按1/√N縮小。進行1,000次紅色下注後，平均值通常在期望值的±3%以內。
大數定律
獨立賭注的累計平均值會趨近期望值數學期望值長期而言，每筆賭注的平均結果。所有標準歐式賭注都是注碼的−1/37。閱讀全文 →。每次以一單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →押等額賠付注、旋轉N次後，每次旋轉平均結果的期望值為−1/37，標準差數學標準差方差的平方根；結果與期望值的典型距離。閱讀全文 →為1/√N。N = 100時，這個離散程度是注碼的10%，差不多是2.7%信號的四倍。N = 1,000時是3.2%，與信號大致相同。N = 10,000時是1%，優勢已清晰可見。優勢在一個場次內看不出來，放在一年裏卻毋庸置疑。
甚麼會收斂，甚麼不會
每次旋轉的平均值會收斂，總額卻不會：隨着N增加，它離零愈來愈遠，期望偏離約為N的2.7%，圍繞這個數值的離散程度約為√N。一名玩家若以每注$10玩了10,000次旋轉，預期會損失$2,700，上下約$1,000。紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →的累計比例早已穩定在48.65%附近；累計餘額卻沒有在任何位置穩定下來。
- 第10百分位數 −$440
- 第25百分位數 −$280
- 中位數 −$140
- 第75百分位數 +$0
- 第90百分位數 +$140
為何直覺失準
人們以為優勢會很快顯現，因為2.70%聽來很多；又因大數定律數學大數定律隨試驗次數增加，獨立結果的平均值會收斂於期望值。閱讀全文 →說平均值會收斂，而以為長期結果會「拉平」。兩種直覺都誤判了尺度：相對於單次旋轉的方差數學方差衡量結果在期望值周圍分散程度的數值。單號高，等額賠付注低。閱讀全文 →，優勢很小（σ = 1單位，而EV = 0.027），所以要約(1/0.027)² ≈ 1,400次旋轉，優勢才達到一個標準差而可以看見。而且平均值的收斂並不會把總額拉回來；它只會沖淡過去的波動。
其他賭注的收斂
單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →的 σ = 5.84，因此同樣計算得出，要(5.84/0.027)² ≈ 47,000次旋轉，優勢才會達到一個標準差。單號玩家可以玩上數年，自己的紀錄仍無法把優勢與運氣區分開來；但他付出的2.70%，與數周內就能看出優勢的紅色玩家完全相同。
對檢驗系統的意義
任何宣稱某個系統有效的人，都應能以10,000次或以上旋轉的有據可查紀錄，證明平均結果為正。在1,000次旋轉時，等額賠付注的平均結果為正，在零假設下是五分之一機會的事件；在100次旋轉時，則幾乎與擲硬幣無異。本站的模擬器能在一秒內執行2,000個由你自選長度的場次，這比任何用家見證都更有說服力。
公式
問題
隨着你繼續玩下去，再次處於贏錢狀態的概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →會趨近於零。總額會無止境地往下漂移。
不是。它表示過去的波動在更大的樣本中所佔比例會愈來愈小。
等額賠付注約要10,000次旋轉，優勢才會清晰可見；單號則約要50,000次。
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
兩位朋友玩20回合公平遊戲數學公平遊戲任何一方都沒有優勢的遊戲：每一筆賭注的期望值都是零。閱讀全文 →，擲硬幣，或押紅賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →對黑賭注黑押18個黑色號碼的等額賠付注。法文：noir。閱讀全文 →而零號轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →退回，並記錄累積分數。數出每人領先的回合數（打平時算作剛才領先的一方）。哪一種更可能：領先平分為10回合對10回合，還是一位朋友領先全部20回合？
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答案 一位朋友領先全部20回合的可能性高得多：不論哪一位，合計為35.2%，而平分10對10只有6.1%。
公平累積分數在2k回合後持平的概率為u = C(2k, k)/2²ᵏ：10回合後為0.246，20回合後為0.176。經典結果「反正弦定律」指出，在2n回合中，一名指定朋友恰好領先2k回合的概率是u(2k) × u(2n − 2k)。
領先全部20回合：每位朋友的u(20) × u(0) = 0.176，任一位為35.2%。均分：u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%，是所有分配中最不可能的。
因此在公平遊戲中，領先很少易手。整晚一直領先或一直落後的玩家並未看見任何不尋常的事，這也不能說明轉輪或技巧有任何問題。Epstein（2013）為較長遊戲給出相同法則：有一半機會，運氣較好的一方在超過85%的遊戲時間領先。
漫畫點綴
平均值會收斂。總額卻一去不返。
來源
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.