凱利公式與輪盤
凱利公式告訴有優勢的投注者該押多少。對輪盤而言，它的答案很明確：甚麼都不押。
凱利注碼 = 優勢／賠率。優勢為負時，公式得出負分數，意思是不下注。這項準則仍有助理解，追蹤轉輪偏差的玩家當年為何那樣決定注碼，以及其他人為何應按預算決定注碼。
這項準則
John Kelly（1956）探討的是：已知自己有優勢的賭徒應如何決定注碼，才能使資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →的長期增長最大化。對一項派彩1賠b、獲勝概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →為p、落空概率為q = 1 − p的賭注，答案是押上資金的f* = (bp − q) / b。f*為正，就押這個比例；為零或負，就不下注。Kelly任職於貝爾實驗室，他的論文「A new interpretation of information rate」把問題放在Claude Shannon的資訊理論框架中：在公平賠率下，透過有噪音的線路取得貼士的賭徒，資金增長的速度最多只能達到該線路傳送資訊的速率。1961年，Leo Breiman證明，長期而言，凱利投注的結果會勝過任何本質上不同的策略，而且大約能以最短時間達成既定目標。
輪盤中的凱利投注
以紅色賭注紅押18個紅色號碼的等額賠付注。法文：rouge。閱讀全文 →為例：b = 1，p = 18/37，q = 19/37；f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37。以單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →為例：b = 35，p = 1/37，q = 36/37；f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295。每項標準賭注都得出負的凱利比例，因為每項賭注的優勢都是負數，令增長最大化的注碼是零。輪盤上的凱利投注，只是以正式的方式重申「輪盤莊家優勢」頁的結論：負期望值的賭注，無論注碼多少，都不能令資金增長。
凱利確曾適用的場合
追蹤轉輪偏差的玩家既有優勢，也有注碼問題。Jagger、García-Pelayos家族與Eudaemons都必須決定，在測得的優勢上要押多少；押得太少會浪費優勢，押得太多則可能在優勢顯現前就已破產。對於每30次出現1次的口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →，凱利公式建議每次旋轉在該號碼押資金的0.57%：資金為$10,000時，每次約$57，典型增長約為每次旋轉0.054%，即1,000次旋轉後變為×1.7。平均收益是其兩倍，即每次旋轉0.11%，但凱利瞄準的是典型資金，而非會被少數幸運連勝拉高的平均資金。由於優勢的估計並不確定，實務上通常選擇半凱利。
典型與平均
典型資金與平均資金之間的落差很大。以每25次出現1次的口袋為例，即44%的優勢，這是Thorp為其裝置提出的數字。凱利公式建議在它上面押資金的1.26%。1,000次旋轉後，典型資金約增長至11.5倍；平均資金則被少數非常幸運的結果拉高至約249倍。押得比凱利多，會拉高平均值，卻拉低典型結果：注碼為凱利的兩倍時，典型資金只會翻一倍；到了凱利的兩倍半，典型資金反而縮水，儘管每一注仍帶有44%的優勢。押得少則代價不大：一半注碼仍保留約四分之三的增長。
優勢只是猜測時
凱利假設優勢已知。在賭枱上，優勢只是估計值，而且估計通常偏高。Epstein以Thorp的44%為基礎舉例：雙零轉輪零號單一綠色口袋，沒有任何等額賠付、打注或欄注涵蓋；是莊家優勢的來源。也稱單零、0。閱讀全文 →轉輪上某個號碼在1,225次旋轉中出現了49次，即每25次出現1次、44%的優勢、1.26%的凱利注碼。但公平的雙零轉輪有38個號碼，其中出現最多的號碼在1,225次旋轉中達到49次或以上，約每九次就有一次。任何紀錄中出現最多的號碼，也是最受運氣眷顧的號碼，所以即使口袋真的有偏差，在紀錄中也會顯得比實際更好：這就是贏家詛咒。若該口袋其實沒有偏差，凱利注碼就只是一項平均損失5.26%的賭注。常見的對策是只押凱利注碼的一部分，並繼續記錄，直至優勢在一份全新的紀錄中仍然成立（見「如何偵測輪盤轉輪偏差」）。
有優勢的人
知道有優勢，不等於懂得善用。Haghani與Dewey（2016）給61人每人$25，讓他們在半小時內押注一枚硬幣；他們獲告知這枚硬幣有60%的時候正面朝上，贏款上限為$250（玩家要到達上限時才得知有此上限）。凱利公式建議每次都在正面押資金的20%，作者估計，穩定地押10–20%約有95%的機會到達上限。只有21%的玩家做到。28%輸光，61人中有18人曾在單次擲幣中押上全部資金，約三分之一最終少於起始的$25，平均派彩金額派彩中獎賭注返還的金額，以「1賠X」表示，另加退回的注碼。閱讀全文 →為$91。61人中只有五人聽過凱利公式。有優勢時，注碼大小決定你能否保住優勢；沒有優勢時（例如面對公平轉輪），任何注碼都無補於事。
改用甚麼
沒有優勢時，決定注碼是預算問題，而不是增長問題：注碼 = 你願意每次旋轉花費的金額，由每小時預算與賭枱節奏推算（見「輪盤資金管理」頁）。凱利公式對一般玩家的貢獻，在於答案明確：零。任何高於零的注碼，都是玩的代價，由你自己選擇，而非任何公式優化的結果。
關於分數凱利與「資金管理」的說明
那些以「輪盤凱利公式」名義出售、建議每注固定押資金某個百分比的系統，其實是注碼不斷縮小的固定下注策略固定下注每次旋轉下注相同金額。所有加碼系統比較的基準。閱讀全文 →。它們同樣損失總投注額金額總投注額一個場次或期間的全部投注金額，包括重新下注的贏款。也稱 handle、action。閱讀全文 →的2.70%；而且由於輸錢時注碼隨之縮小，它們只是令破產來得較慢，而不是令破產變得不大可能。這是令預算更持久的合理方法；但它不是凱利，凱利會叫你停手。
公式
問題
趣味數學
先自己動手試試。每個解答都已摺起，準備好再展開。
Thorp與Shannon的預測裝置帶來約44%的優勢。對單一預測號碼，凱利公式說應押資金金額資金為遊戲預留的總額。資金管理是決定每注和每場次要冒多少風險。閱讀全文 →的1.26%。若同樣44%的優勢出現在分散於五個相鄰號碼的一注上呢？
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答案 此時凱利公式說應押資金的7.1%，而資金的增長速度快近六倍：1,000注後約增至125萬倍，而單一號碼只有約11.5倍。
優勢44%的單號賭注單號單一號碼，派彩35:1。閱讀全文 →，中獎概率為0.04，因為36 × 0.04 = 1.44。凱利公式的注碼是優勢除以賠率：0.44/35 = 1.26%。每注的典型增長率為0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244，所以1,000注使資金乘上約e^2.44 ≈ 11.5。
將一份注碼分散在五個號碼，賭注以0.20概率中獎，派彩為每1返還36/5（含注碼），即1賠6.2：仍是44%的優勢，因為0.2 × 7.2 = 1.44。凱利公式的注碼變成0.44/6.2 = 7.10%，而每注增長率為0.01404，約為原來的5.75倍。1,000注後即e^14.04，約125萬。
優勢相同；波動較小。五次中贏一次的賭注可承受較大資金份額而不會冒破產風險，凱利公式的增長率正好回報這一點。Thorp（1984）用這個例子說明為何預測玩家押區段轉輪區段轉輪上連續的一段口袋弧線，不同於投注枱面上的一組號碼。閱讀全文 →。實際上，五個鄰號賭注鄰號一個號碼及其轉輪兩側各一個口袋，共五枚單號籌碼。閱讀全文 →的優勢略低於最佳單一號碼（見「輪盤優勢玩法」）。
玩家發現兩個相鄰口袋設備口袋轉子上37個有號碼隔間之一。也稱 slot、cup。閱讀全文 →各以25分之1的頻率出現，而非37分之1。該押它們之間的分注賭注分注兩個相鄰號碼，派彩17:1。閱讀全文 →、以1賠17派彩，還是兩個號碼各押單號？凱利公式怎麼說，與只有一個這樣的口袋相比，資金增長多快？
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答案 沒有差別：分注押資金的2.59%，或每個號碼各押1.29%。1,000次旋轉中，典型資金約增長155倍，而一個口袋只有11.5倍。
分注以概率數學概率結果發生的可能性，以0到1或0%到100%表示。一個號碼：1/37 = 2.70%。閱讀全文 →2/25 = 0.08中獎，並以1賠17派彩，因此每押一單位金額單位系統或玩家採用的基本注碼。加碼系統以單位描述，因此適用於任何賭枱。閱讀全文 →返還18 × 0.08 = 1.44：44%的優勢，與一個有偏差的口袋相同。凱利公式的注碼是優勢除以賠率：0.44/17 = 2.59%。
兩個各1.29%的單號賭注，結果完全相同。任一號碼出現時，一枚籌碼金額籌碼代表固定金額、放在投注枱面上下注的代幣。也稱 check。閱讀全文 →以1賠35中獎，另一枚輸掉，淨額為資金的34 × 1.29% = 44%，與分注派彩相同；若兩者皆未出現，兩注皆輸。
每次旋轉增長率為0.00505，對比單一口袋的0.00244，因此1,000次旋轉後典型資金為e^5.046 ≈ 155倍，而非e^2.44 ≈ 11.5倍。兩個好號碼的價值遠超過一個的兩倍，因此利用偏差的玩家押成組號碼。Thorp（1984）作了同樣比較。
漫畫點綴
令資金增長最大化的輪盤注碼，是人人早已知道的數字。
來源
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”